- •B15 (высокий уровень, время – 10 мин)
- •Пример задания:
- •Ещё пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Ещё пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Еще пример задания:
- •Задачи для тренировки2:
- •35 Http://kpolyakov.Narod.Ru
Еще пример задания:
Сколько различных решений имеет система уравнений
(X1 X2) (¬X1 ¬X2) (X1 X3) = 1
(X2 X3) (¬X2 ¬X3) (X2 X4) = 1
...
(X8 X9) (¬X8 ¬X9) (X8 X10) = 1
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение (табличный метод):
-
количество комбинаций 10 логических переменных равно 210 = 1024, поэтому вариант с построением полной таблицы истинности отпадает сразу
-
перепишем уравнения, используя более простые обозначения операций
...
-
заметим, что по свойству операции эквивалентности, поэтому уравнения можно переписать в виде
...
-
сделать замену переменных так, чтобы новые переменные был независимы друг от друга, здесь довольно затруднительно, поэтому будем решать уравнения последовательно табличным методом
-
рассмотрим все возможные комбинации первых двух переменных X1 и X2, и сразу попытаемся для каждой из них подобрать значения третьей так, чтобы выполнялось первое уравнение :
X3
X2
X1
?
0
0
?
0
1
?
1
0
?
1
1
-
очевидно, что в первой и последней строчках таблицы, где , значения X3 могут быть любыми, то есть каждая из этих строчек дает два решения; в то же время во второй и третьей строках, где , мы сразу получаем, что для выполнения первого равнения необходимо , то есть, эти две строчки дают по одному решению:
X3
X2
X1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
-
заметим, что количество решений для каждой строчки исходной таблицы (с двумя переменными) определялось лишь тем, равны значения в двух последних столбцах (X2 и X1) или не равны;
-
также заметим, что в новой таблице в самой верхней и самой нижней строках значения X3 и X2 равны, а в остальных не равны (их 4 штуки); поэтому на следующем шаге (при подключении четвертой переменной и третьего уравнения) верхняя и нижняя строки дадут 2 варианта с равными X4 и X3, и 2 + 4 = 6 вариантов, где X4 и X3 не равны
-
в общем виде: если на шаге i в таблице решений есть
ni строк, где значения в двух самых левых столбцах таблицы равны, и …
mi строк, где значения в двух самых левых столбцах таблицы не равны,
то на следующем шаге будет столько же (ni) строк с равными значения в двух самых последних столбцах и ni+mi строк с неравными значениями
-
эту последовательность можно записать в виде таблицы (i – число задействованных переменных):
i
всего решений
3
2
4
6
4
2
2+4=6
8
5
2
2+6=8
10
6
2
2+8=10
12
7
2
2+10=12
14
8
2
2+12=14
16
9
2
2+14=16
18
10
2
2+16=18
20
-
таким образом, для системы с 10 переменными общее количество решений равно 2 + 18 = 20
-
ответ: 20 решений