33

Практическое занятие 5 проверка статистических гипотез

1. Оценка достоверности разности средних 1

2. Оценка достоверности средней разности 5

3. Критерий 2 как критерий согласия 9

4. Критерий 2 как критерий независимости 24

5. Критерий 2 как критерий однородности 30

1. Оценка достоверности разности средних

Гипотеза о разности двух средних исходит из предполо­жения, что независимые выборки взяты из одной нормально распределенной совокупности и различия между средними возникли случайно.

Чтобы проверить гипотезу, необходимо найти фактическое нормированное отклонение и сравнить его с табличным. Если фактическое значение нормированного отклонения меньше табличного, то гипотеза подтверждается, то есть разница между средними недостоверна и различия между ними носят случайный характер. Если же фактическое значение нормированного отклонения больше табличного, следовательно, гипотеза опровергается, то есть разница между сред­ними достоверна и различия между ними носят систематиче­ский характер.

Фактическое нормированное отклонение определяют как отношение случайной ошибки к средней ошибке разности двух выборочных средних:

,

где  фактическое нормированное отклонение;

 средняя ошибка разности двух выборочных сред­них.

Табличное нормированное отклонение t_табл определяют по таблицам распределения Стьюдента ис­ходя из принятого доверительного уровня вероятности суж­дения β (или уровня значимости  = 1  β) и числа степеней свободы вариации . Число степеней свободы вариации для первой и второй выборок соответственно равны и . Общее число степеней свободы вариации равно их сумме .

В случае определения достоверности разности средних в больших выборках вместо t-критерия Стьюдента можно при­менять t-критерий нормального распределения. При этом число степеней свободы вариации не учи­тывается.

Зная среднюю ошибку и табличное нормированное от­клонение, можно определить предельную ошибку разности средних:

.

Сравнение предельной ошибки и разности средних также позволяет сделать вывод о достоверности разности средних. Если предельная ошибка меньше разности средних, то раз­ность средних достоверна, если больше  нет.

Рассмотрим методику оценки достоверности разности средних.

Пример. Имеются данные о продолжительности отела по двум группам коров в боксах-денниках и стойлах (табл. 5.1). Данные наблюдений по опытной и контрольной группам не­зависимы.

Т а б л и ц а 5.1

Продолжительность отела коров

Опытная группа (денники)		Контрольная группа (стойла)
продолжительность отела, мин.	квадрат отклонений продолжительности отела от средней	продолжительность отела, мин.	квадрат отклонений продолжительности отела от средней
71 69 72 68 66 69 67 64 65 72 71 62   	9 1 16 0 4 1 1 16 9 100 9 36   	103 104 103 86 94 91 101 91 85 101 93 105 96 92 95	49 64 49 100 4 25 25 25 121 25 9 81 0 16 1

Требуется определить достоверность различий между продолжительностью отела в двух группах коров, то есть оп­ределить влияние условий проведения отелов на их продол­жительность при уровне вероятности суждения 0,99

Средняя продолжительность отела коров по группам бу­дет:

опытная группа:

мин.;

контрольная группа:

мин.

Разность средних:

мин.

Проверим гипотезу о существенности разности средней продолжительности отелов по опытной и контрольной груп­пам.

Средняя ошибка разности двух выборочных средних:

мин.

Фактическое значение нормированного отклонения:

.

Табличное нормированное отклонение при уровне значи­мости 0,01 и степенях свободы вариации в соответствии с данными таблицы значений t-кри­терия Стьюдента составляет 2,7874.

Фактическое значение нормированного отклонения t_факт = 13,55 больше табличного t_табл = 2,7874, следовательно ги­потеза о существенности разности средних подтверждается, то есть разность средних достоверна. Продолжительность отелов коров зависит от условий их проведения.

Это подтверждает и предельная ошибка разности средних, которая равна:

мин.

Фактическая разность средних значительно вы­ше предельной ошибки , то есть выше границ слу­чайных колебаний.

Технология решения задачи в табличном процессоре Microsoft Excel следующая.

1. Введите исходные данные в соответствии с рис. 5.1.

Р и с. 5.1

2. Рассчитайте фактическое и табличное значения нормированного отклонения.

2.1. Выполните команду Сервис, Анализ данных, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

2.2. В диалоговом окне Анализ данных с помощью левой кнопки мыши установите: Инструменты анализа  <Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями> (рис. 5.2).

Р и с. 5.2

2.3. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

2.4. На вкладке Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями установите параметры в соответствии с рис. 5.3.

Р и с. 5.3

2.5. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

Результаты решения выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 5.4).

Р и с. 5.4

Пояснения к названию отдельных показателей на рис. 5.4 приведены в табл. 5.2.

Т а б л и ц а 5.2