Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Кафедра «Персональная электроника»

Лабораторная работа №7

по дисциплине «Основы автоматических систем управления»

Анализ систем автоматического управления методом корневого годографа. Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска.

Выполнил	Зернин Н.Д.
Принял	проф. Трофимов А.Т.

Дубна, 2010 г.

Цель работы:

• Рассмотреть метод корневого годографа.

• Проанализировать перемещение по s-плоскости корней характеристического уравнения при изменении какого-либо параметра системы.

Используемые средства: ИКС MATLAB.

Теоретическое введение.

Качество системы с обратной связью тесно связано с положением на s-плоскости корней характеристического уравнения. Желаемые показатели качества замкнутой системы управления можно обеспечить путём разумного выбора одного или нескольких параметров системы. Поэтому интересно выяснить, как будут перемещаться по s-плоскости корни характеристического уравнения при изменении какого-либо параметра системы.

Положение корней на s-плоскости можно определить графическим методом. Траек­тории корней при изменении одного параметра системы и образуют так называемый кор­невой годограф, являющийся эффективным средством анализа и синтеза систем управ­ления. Относительная устойчивость и качество переходного режима замкнутой системы управле­ния непосредственно связаны с положением корней ее характеристического уравнения на s-плоскости. Чтобы обеспечить надлежащее расположение этих корней, часто необходима настройка одного или нескольких параметров системы. Поэтому имеет смысл исследовать, как перемещаются на s-плоскости корни характеристического уравнения при изменении параметров системы; иначе говоря, представляют интерес траектории корней на s-плос­кости. Метод корневого годографа был предложен Эвансом в 1948 г. и впоследствии по­дучил широкое распространение в инженерной практике. Он позволяет инженеру оценить чувствительность полюсов системы к изменению какого-либо параметра. Наибольшую пользу метод корневого годографа приносит в сочетании с критерием Рауса-Гурвица.

Метод корневого годографа является графическим, а сам годограф позволяет получить качественную информацию об устойчивости и динамических показателях системы. Он с одинаковым успехом применяется как к одноконтурным, так и к многоконтурным системам. Если положение корней характеристического уравнения почему-либо не устраивает проектировщика, то по корневому годографу он легко может определить, как необходимо изменить варьируемый параметр системы.

Корневой годограф – это траектории корней характеристического уравнения системы на s-плоскости при изменении какого-либо параметра системы.

При изменении параметра K от 0 до траектории корней характеристического уравнения 1+KP(s)=0 начинаются в полюсах P(s) и заканчиваются в нулях P(s). Участки корневого годографа, совпадающие с действительной осью, всегда лежат слева от нечетного числа полюсов и нулей. Число отдельных ветвей годографа равно числу полюсов. Пересечение корневым годографом мнимой оси легко установить с помощью критерия Рауса-Гурвица. Точка отрыва корневого годографа от действительной оси – это то место, где сходятся несколько корней, как правило, два.

Ход работы

Построение корневого годографа с помощью MATLAB.

Рассмотрим замкнутую систему управления. Система имеет передаточную функцию:

.

Характеристическое уравнение можно представить в виде:

,

где K – варьируемый параметр, изменяемый в диапазоне .

Построим корневой годограф.

>> p=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p,q); rlocus(sys)

Рис. 1. График корневого годографа.

Из графика видно, что полюсы s = 0, -2, -3; а нуль s = -1. При увеличении K две ветви корневого годографа отрываются от действительной оси. Это значит, что при некоторых значениях K характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь два комплексных корня.

>> p=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p,q); [r,K]=rlocus(sys); plot(r,'x')

Рис. 2. График корневого годографа.

Найдем значение K, соответствующее паре комплексных корней.

>> p=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p,q); rlocus(sys)

>> rlocfind(sys)

Select a point in the graphics window

selected_point =

-2.0296 + 5.8882i

ans =

36.6124

Система чтения информации с диска.

ПИД – регулятор имеет передаточную функцию:

.

Примем . В результате мы получим ПД – регулятор:

,

а целью синтеза является выбор параметров и , удовлетворяющих требованиям к качеству системы. Передаточная функция замкнутой системы равна:

,

где H(s) = 1.

Представим в виде:

.

Построим корневой годограф:

>> p=[1 1]; q=[1 1020 20000 0]; sys=tf(p,q); rlocus(sys);

Рис. 3. График корневого годографа.

>> p=[1 1]; q=[1 1020 20000 0]; sys=tf(p,q); [r,K]=rlocus(sys); plot(r,'x')

Рис. 4. График корневого годографа.

Выводы:

Относительная устойчивость и основные показатели качества замкнутой системы управления непосредственно связаны с расположением корней характеристического уравнения системы. Мы использовали метод годографа, чтобы определить перемещение корней характеристического уравнения на s-плоскости при изменении параметров системы. Мы применили метод корневого годографа к синтезу регулятора. Из рисунка 2 видно, что полюсы s = 0, -2, -3; а нуль s = -1. При увеличении K две ветви корневого годографа отрываются от действительной оси. Это значит, что при некоторых значениях K характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь два комплексных корня. При K=36,6124 мы имеем два комплексных корня, симметричных относительно действительной оси ( -2,0296 + 5,8882i и -2,0296 – 5,8882i ) и один действительный корень. Время установления – это время, необходимое системе для того, чтобы переходная характеристика “практически” достигла установившегося значения. В действительности реакция системы, достигнув 97% от конечного значения очень медленно приближается к последнему.

3