лабораторная работа / Методичка 5 (1)
.docМинистерство образования и науки Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
Балаковский институт техники, технологии и управления
Метод гармонической линеаризации
Методические указания к лабораторной работе по курсу «Теория автоматического управления» для студентов специальности 210100
Одобрено
редакционно –издательским советом
Балаковского интститута техники,
технологии и управления
Балаково 2004
Цель работы: изучение нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации (гармонического баланса), определение коэффициентов гармонической линеаризации для различных нелинейных характеристик. Получение навыков по нахождению параметров симметричных колебаний постоянной амплитуды и частоты (автоколебаний), используя алгебраический, частотный способы, а также с помощью критерия Михайлова.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам исследования нелинейных систем. Он позволяет достаточно просто и с приемлемой точностью оценивать устойчивость нелинейных систем, определять частоту и амплитуду установившихся в системе колебаний.
Предполагается, что исследуемая нелинейная САУ может быть представлена в следующем виде
Рис.1.
причем нелинейная часть должна иметь одну нелинейность
(1)
Эта нелинейность может быть как непрерывной, так и релейной, однозначной или гистерезисной.
Любую функцию или сигнал можно разложить в ряд по системе линейно-независимых, в частном случае ортонормированных функций. В качестве такого ортогонального ряда может быть использован ряд Фурье.
Разложим в ряд Фурье выходной сигнал нелинейной части системы
, (2)
здесь - коэффициенты Фурье,
,
,
(3)
Таким образом, сигнал согласно (2) может быть представлен в виде бесконечной суммы гармоник с возрастающими частотами и т. д. Этот сигнал поступает на вход линейной части нелинейной системы.
Обозначим передаточную функцию линейной части
, (4)
причем степень полинома числителя должна быть меньше степени полинома знаменателя. В этом случае АЧХ линейной части имеет вид
Рис.2.
где 1 - не имеет полюсов, 2 - имеет полюс или полюса.
Для АЧХ справедливо записать
(5)
Таким образом, линейная часть нелинейной системы является фильтром высоких частот. В этом случае линейная часть будет пропускать без ослабления только низкие частоты, высокие же по мере роста частоты будут существенно ослабляться.
В методе гармонической линеаризации делается предположение о том, что линейная часть системы будет пропускать только постоянную составляющую сигнала и первую гармонику. Тогда сигнал на выходе линейной части будет иметь вид
(6)
Этот сигнал проходит по всему замкнутому контуру системы рисунку 1 и на выходе нелинейного элемента без учета более высоких гармоник, согласно (2) имеем
(7)
При исследовании нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации возможны случаи симметричных и несимметричных колебаний. Рассмотрим случай симметричных колебаний. Здесь и.
Введем следующие обозначения
,
.
Подставив их в (7), получим . (8)
С учетом того, что
,
, где ,
получим
. (9)
Согласно (3) и (8) при
,
. (10)
Выражение (9) является гармонической линеаризацией нелинейности устанавливает линейную связь входной переменной и выходной при . Величины и называются коэффициентами гармонической линеаризации.
Необходимо отметить, что уравнение (9) является линейным для конкретных величин и (амплитуды и частоты гармонических колебаний в системе). Но в целом оно сохраняет нелинейные свойства, так как коэффициенты различны для различных и . Эта особенность и позволяет исследовать с помощью метода гармонической линеаризации свойства нелинейных систем [ Попов Е.П.].
В случае несимметричных колебаний гармоническая линеаризация нелинейности приводит к линейному уравнению
, (11)
где
,
,
. (12)
Так же как и уравнение (9), линеаризованное уравнение (11) сохраняет свойства нелинейного элемента, так как коэффициенты гармонической линеаризации , , а так же постоянная составляющая зависят и от смещения и от амплитуды гармонических колебаний .
Уравнения (9) и (11) позволяют получить передаточные функции гармонически линеаризованных нелинейных элементов. Так для симметричных колебаний
, (13)
при этом частотная передаточная функция
(14)
зависит только от амплитуды и не зависит от частоты колебаний в системе.
Необходимо отметить, что если нечетно-симметричная нелинейность однозначна, то в случае симметричных колебаний в соответствии с (9) и (10) получим, что , (15)
так как
(16)
и линеаризованная нелинейность имеет вид
. (17)
Для неоднозначных нелинейностей (с гистерезисом) интеграл в выражении (16) не равен нулю, вследствие различия в поведении кривой при возрастании и убывании , поэтому справедливо полное выражение (9).
Найдем коэффициенты гармонической линеаризации для некоторых нелинейных характеристик. Пусть нелинейная характеристика имеет вид релейной характеристики с гистерезисом и зоной нечувствительности. Рассмотрим, как гармонические колебания проходят через нелинейный элемент с такой характеристикой.
При выполнении условия , то есть если амплитуда входного сигнала меньше зоны нечувствительности , то сигнал на выходе нелинейного элемента отсутствует. Если же амплитуда , то реле переключается в точках A, B, C и D. Обозначим и .
Тогда
,
. (18)
При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации следует иметь ввиду, что при симметричных нелинейных характеристиках интегралы в выражениях (10) находятся на полупериоде (0, ) с последующим увеличением результата в два раза. Таким образом
,
Рис.3.
. (19)
Тогда
,
. (20)
Для нелинейного элемента с релейной характеристикой и зоной нечувствительности
,
. (21)
Для нелинейного элемента, имеющего релейную характеристику с гистерезисом
,
. (21)
Аналогично могут быть получены коэффициенты гармонической линеаризации для других нелинейных характеристик.
Рассмотрим два способа определения симметричных колебаний постоянной амплитуды и частоты (автоколебаний) и устойчивости линеаризованных систем: алгебраический и частотный. Сначала рассмотрим алгебраический способ. Для замкнутой системы Рис.1 передаточная функция линейной части равна
.
Запишем гармонически линеаризованную передаточную функцию нелинейной части
.
Характеристической уравнение замкнутой системы имеет вид
. (22)
Если в исследуемой системе возникают автоколебания, то это говорит о наличии двух чисто мнимых корней в ее характеристическом уравнении. Поэтому подставим в характеристическое уравнение (22) значение корня .
. (23)
Представим
.
Получим два уравнения, определяющих искомую амплитуду и частоту
,
. (24)
Если в решении возможны вещественные положительные значения амплитуды и частоты , то в системе могут возникнуть автоколебания. Если же амплитуда и частота не имеет положительных значений, то автоколебания в системе невозможны.
Рассмотрим пример 1. Пусть исследуемая нелинейная система имеет вид
Рис.4.
В этом примере нелинейный элемент представляет собой чувствительный элемент с релейной характеристикой, для которого коэффициенты гармонической линеаризации
,
. (25)
Исполнительное устройство имеет передаточную функцию вида
. (26)
Передаточная функция объекта регулирования равна
. (27)
Передаточная функция линейной части системы
, (28)
где .
На основании (22), (25) и (28) запишем характеристическое уравнение замкнутой системы
, (29)
откуда
,
. (30)
Пусть 1/сек, сек, сек, в.
В этом случае параметры периодического движения равны
7,071 ,
в.
Рассмотрим способ определения параметров автоколебаний в линеаризованной САУ с помощью критерия Михайлова. Способ основан на том, что при возникновении автоколебаний система будет находиться на границе устойчивости и годограф Михайлова в этом случае будет проходить через начало координат.
В примере 2 найдем параметры автоколебаний при том условии, что нелинейный элемент в системе Рис.4 представляет собой чувствительный элемент, имеющий релейную характеристику с гистерезисом, для которого коэффициенты гармонической линеаризации
,
.
Линейная часть осталась неизменной.
Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы
.
Годограф Михайлова получается заменой .
.
Задача заключается в том, чтобы подобрать такую амплитуду колебаний , при которой годограф пройдет через начало координат. Необходимо отметить, что при этом текущая частота , так как именно в этом случае кривая пройдет через начало координат.
Расчеты, проведенные в MATHCAD 7 при 1/сек, сек, сек, в и в, дали следующие результаты. На Рис.5 годограф Михайлова проходит через начало координат. Для повышения точности расчетов увеличим нужный фрагмент графика. На Рис.6 приведен фрагмент годографа, увеличенный в окрестности начала координат. Кривая проходит через начало координат при в.
Рис.5. Рис.6.
Частоту колебаний при этом можно найти из условия равенства нулю модуля . Для частот
значения модуля сведены в таблицу
Таким образом, частота колебаний 6,38 . Необходимо отметить, что точность расчетов легко может быть увеличена.
Полученное периодическое решение, определяемое значением амплитуды и частоты , необходимо исследовать на устойчивость. Если решение устойчиво, то в системе имеет место автоколебательный процесс (устойчивый предельный цикл). В противном случае предельный цикл будет неустойчивым.
Проще всего для исследования устойчивости периодического решения использовать критерий устойчивости Михайлова в графическом виде. Было установлено, что при кривая Михайлова проходит через начало координат. Если дать малое приращение , то кривая займет положение либо выше нуля, либо ниже. Так в последнем примере дадим приращение в, то есть и . Положение кривых Михайлова показано на Рис.7.
Рис.7.
При кривая проходит выше нуля, что говорит об устойчивости системы и затухающем переходном процессе. При кривая Михайлова проходит ниже нуля, система является неустойчивой и переходный процесс является расходящимся. Таким образом, периодическое решение с амплитудой в и частотой колебаний 6,38 устойчиво.
Для исследования устойчивости периодического решения может быть использован и аналитический критерий, получаемый из графического критерия Михайлова. Действительно, чтобы узнать пойдет ли кривая Михайлова при выше нуля достаточно посмотреть, куда будет перемещаться точка кривой Михайлова, которая при находится в начале координат.
Рис.8.
Если разложить перемещение этой точки по координатным осям X и Y, то для устойчивости периодического решения вектор, определяемый проекциями на координатные оси
и ,
должен быть расположен справа от касательной MN к кривой Михайлова, если смотреть вдоль кривой в сторону возрастания , направление которой определяется проекциями
и .
Аналитическое условие устойчивости запишем в следующем виде
. (31)
В этом выражении частные производные берутся по текущему параметру кривой Михайлова
,
в точке .
Необходимо отметить, что аналитическое выражение критерия устойчивости (31) справедливо только для систем не выше четвертого порядка, так как например для системы пятого порядка в начале координат условие (31) может выполняться, а система будет неустойчивой
Рис.9.
Применим критерий (31) для исследования устойчивости периодического решения, полученного в примере 1.
Так как
,
,
то
, ,