52. Бином Ньютона.

Рассмотрим функцию f(x) = (a+x)n, n - натуральное (11.6)

Полагая х0 = 0 и используя формулу Тейлора, получим (a+x)n=A0+A1×x+ ... +An×xn, где. Так как из (11.6) получаем то f(0)=an и . Таким образом, А0 = аn и . Аk будем называть биномиальным коэффициентом и обозначать. Запишем теперь биномиальную формулу Ньютона . В частности, при а = 1.

53 Экстремум функции одной переменной.

Определение 11.1. Будем говорить, что f(x) имеет максимум в некоторой точке х=х1, если в некоторой окрестности О(х1) (возможно, весьма малой) выполнено неравенство f(x1) > f(x) , (x¹x1). Аналогично определим минимум функции f(x). Если при х=х2 f(x2) < f(x) (х¹х2) в некоторой окрестности точки О(х2), то в точке х2 f(x) имеет минимум. Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Те точки, где f(x) достигает своих экстремальных значений, назовем точками экстремума функции. Из определения следует, что экстремум функции носит локальный характер. То есть может оказаться, что минимум функции принимает большее значение, чем максимум. Здесь речь идет о двустороннем экстремуме (в дальнейшем мы под словом экстремум будем всегда понимать двусторонний экстремум). Ниже мы введем понятие одностороннего (краевого) экстремума.

54 Экстремум функции одной переменной

Теорема 11.1. (Необходимое условие экстремума функции). В точке экстремума (двустороннего) дифференцируемой функции производная ее равна нулю.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть x0 - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку x0 меняет знак плюс на минус, то в точке x0 функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x0 экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) имеет производную f '(x) в окрестности точки x0и вторую производную f ''(x0) в самой точке x0. Если f '(x0 ) = 0, f''(x0)>0, (f''(x0)<0), то точка x0 является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f''(x0)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием экстремума, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки, и непрерывна в точке x0. Если производная функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку слева направо, то x0 – точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку слева направо, то x0 – точка максимума. Пусть – стационарная точка функции f (x), и существует . Если то - точка максимума функции f (x). Так, производная функции f (x) = |x| равна –1 при отрицательных x и +1 при положительных x. Функция |x| достигает в точке x0 = 0 своего минимума. В точке x0 = 0 первая производная функции f (x) = –x2 равна f ′ (x0) = –2x0 = 0, а вторая производная f ′′ (x0) = (–2x)′ = –2 < 0. Функция –x2 + 3 достигает в точке x0 = 0 своего максимума.

Заметим, что в точке x = 0 функции y = x4 вторая производная f ′′ (x0) = 0, однако эта точка является точкой минимума. Можно доказать, что если f ′ (x0) = f ′′ (x0) =... = f (2n – 1) (x0) = 0 и f (2n) (x0) > 0 (f (2n) (x0) < 0), то точка x0 является точкой минимума (соответственно, максимума).