49. Достаточный и необходимый признак возрастания и убывания функции

Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х1 и x2 из интервала. Пусть x1<x2. По формуле Лагранжа существует число с∈(х1, x2), такое, что . Число с принадлежит интервалу I, так как точки х1 и x2 принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x1)<F(x2) — это следует из формулы (1), так как x2 — x1>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x1)>f (х2) — следует из формулы (1), так как x2—x1>0. Доказано убывание функции f на I.

Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t1 <t2, то f (t1)<f (t2). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.

Замечание 1.

Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

Замечание 2.

Для решения неравенств f' (х)>0 и f' (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f' сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f' в какой-нибудь точке промежутка.

50. Правило Лопиталя

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения: Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует. . Доказательство. Применив формулу Коши, получим: где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0: . Пусть при х®а отношение стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношениестремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать: . Теорема доказана.

51 Формула Тейлора для многочлена.

Пусть данный многочлен

Р(х) = а0 + а1×х + а2 ×х2 + ... + аn×хn (11.1)

требуется разложить по степеням бинома х - х0 , где х0 - некоторое число. Представим

Р(х) = A0+A1× (х - х0 ) + A2× (х - х0 )2 + ... + An×(x-х0)n (11.2)

т.е. пусть это наше искомое разложение и теперь определим коэффициент Аi (i=0¸n). Для этого применим так называемый метод неопределенных коэффициентов. Полагая х = х0 в тождестве (11.2), получим Р(х0) = А0. Дифференцируя (11.2), будем иметь

Р/(х) = A1 + 2×A2× (х - х0 )2 + ... + n×An×(x-х0)n-1

Положим х = х0 . Получим , что Р/(х0) = А1.После вторичного дифференцирования находим

Р//(х) = 2!×A2× (х - х0 ) + ... + n×(n-1)×An×(x-х0)n-1. Откуда . Очевидно, что, используя этот прием, получим общую формулу: , где по определению полагают P(0)(x)= P(x) и 0!=1.

Эту формулу можно доказать методом математической индукции (самостоятельно). Подставим теперь коэффициенты (11.3) в (11.2). Получим формулу Тейлора для многочлена . Или короче . З а м е ч а н и е. Нетрудно убедиться, что старшие коэффициенты в (11.1) и (11.2) совпадают. Поэтому справедливо равенство . Если положить х=0, то правая часть равенства (11.5) равна правой части (11.1), поэтому справедливы равенства .