38. Используя определение производной, определить производную степенной функции

Формула для вычисления производной степенной функции xn, где n — произвольное натуральное число, большее 1, такова: (xn)’=nxn-1 (1) Формула производной функции х2 уже известна: (х2)' = 2х. Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:

(x3)’=( x2⋅x)’= (x2)’x+ x2(x)’= 2x⋅x + x2⋅1=3 x2;

(x4)’=( x3⋅x)’= (x3)’x+ x3(x)’= 3x2⋅x+ x3⋅1=4x3.

Заметим теперь, что (x2)’=2x2-1, (x3)’=3x3-1, (x4)’=4x4-1, т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т. д. Докажем, что формула (1) верна для любого натурального n>4.

Допустим, что формула (1) верна при n = k, т. е. что (xk)’=kxk-1.Покажем, что тогда формула (1) верна при n = k+1. Действительно,

(xk+1)’=(xk⋅x)’=( xk)’⋅x + xk⋅(x)’= kxk-1⋅x + xk = (k+1) xk

Поэтому из того, что формула (1) верна при п = 4, следует, что она верна и при n = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при n = 7 и т. д. до любого n∈ N (строгое доказательство основано на методе математической индукции).

Если n = 1 или n = 0, то при х≠0 эта формула также справедлива. Действительно, по формуле (1) при х≠0

(x1)’=1⋅x1-1 = 1⋅x0 =1,

(x0)’=0⋅x0-1 = 0,

что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже известными из предыдущего пункта. Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда n = —m, , где т — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при х≠0:

В результате можно сделать вывод: Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1) (xn)'=nxn-1 Из дифференцируемости степенной функции и основных правил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференциремы в каждой точке своей области определения.

39. Дифференциал функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную. Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/D х=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как Поэтому первое слагаемое ƒ'(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х. (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х. Поэтому формулу (24.1) можно записать так:dy=ƒ'(х)dх, (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной. Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.