35. Основные теоремы о непрерывных функциях
1. Сумма конечного числа непрерывных функций, определенных на некотором множестве Х, есть функция непрерывная.
2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
С л е д с т в и е. Целый полином Р(х)=а0+а1х+... +аnхn есть функция непрерывная.
3. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, в которых делитель отличен от нуля.
4. Непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.
5. Если y = f(x) непрерывна и строго монотонна на промежутке <а,b> , то существует обратная функция х = j(y), определенная на промежутке < f(a), f(b) >, причем последняя также монотонна и непрерывна в том же смысле.
6. (Кантора) Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, является равномерно непрерывной.
7. (Вейерштрасса) Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение.
8. (Коши) Если f - непрерывна на [a, b] и f(b) = A, f(b) = B, то " A < C < B $ x Î [a, b] : f(x) = C. С л е д с т в и е. Если f - непрерывна на [a, b], а на концах отрезка принимает значения переменных знаков (является знакопеременной), то $ точка х0 Î [a,b] : f(x0) = 0.
36. Производная функции в точке.
Производной функции
в точке
называется предел отношения приращения
функции в этой точке к приращению
аргумента
,
при
(если этот предел существует и конечен),
т.е.
.
Обозначают:
,
,
,
.
Производной функции
в точке
справа (слева)
называется
(если этот предел существует и конечен).
Обозначают:
,
– производная
в точке
справа,
,
– производная
в точке
слева.
Очевидно, что справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Функция
имеет производную в точке
тогда и только тогда, когда в этой точке
существуют и равны между собой производные
функции справа и слева. Причем
.
Следующая теорема
устанавливает связь между существованием
производной функции в точке
и непрерывностью функции в этой точке.
ТЕОРЕМА (необходимое
условие существования производной
функции в точке). Если функция
имеет производную в точке
,
то функция
в этой точке непрерывна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть существует
.
Тогда
,
где
– бесконечно малая при
.
⇒
;
⇒
.
Но это означает, что
непрерывна в точке
(см. геометрическое определение
непрерывности). ∎
Замечание.
Непрерывность функции в точке
не является достаточным условием
существования производной этой функции
в точке
.
Например, функция
непрерывна, но не имеет производной в
точке
.
Действительно,
,
,
и, следовательно,
не существует.
Очевидно, что
соответствие
является функцией, определенной на
некотором множестве
.
Ее называют производной
функции
и обозначают
,
,
,
.
Операцию нахождения
для функции
ее производной функции называют
дифференцированием
функции
37. Используя определение производной, определить производную показательной функции
Теорема 1.Функция ех дифференцируема в каждой точке области определения, и (ех)' = ех.
Доказательство. Найдем сначала приращение функции у = ех в точке x0:
Δy = e x0+Δx — е x0 = е x0 • е Δx — е x0 = е x0 (еΔ x — 1).
Пользуясь условием (1), находим: при Δx → 0 По определению производной отсюда следует, что у' = ex т. е. (еx)’= ех при любом х. Число е положительно и отлично от 1, поэтому определены логарифмы по основанию е.
Определение. Натуральным логарифмом (обозначается ln) называется логарифм по основанию е:
ln x = loge х. (2)По основному логарифмическому тождеству для любого положительного числа еln a =а. Поэтому ах может быть записано в видеax = (eln a)x = ex ln a. (3)
Выведем формулу производной показательной функции при произвольном значении а.
Теорема 2.Показательная функция ах дифференцируема в каждой точке области определения, и
(аx)'=ахlп а. (4) Доказательство. Из формулы (3) по теореме о производной сложной функции получаем, что показательная функция дифференцируема в каждой точке и
(ax)’= (ex ln a)’= ex ln aln a = ax ln a (5) Следствие. Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области определения, т. е. аx →аx0 при х →х0.