29. Односторонние пределы функции

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом.

Пусть задана числовая функция и — предельная точка области определения M. Число называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если Число называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если

30. Необходимое и достаточное условие существования предела функции

Для существования предела функции f(х) при х ® хо (хо - число) Û f(хо - о) = f(хо + о).

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть тогда " e > о $ d = d(e) > о: çх -хоç< d = > çf (х) ¹ A ç < e, и следовательно $ = (хо - d, хо) и = ( xо , xо + d ) : А = и А = . Обратно, если существуют пределы А = f(x) и А = то " e > 0 $ d1 = d1 (e) и d2 = d2 (e) такие, что, если хо - d1 < х < хо и, соответственно, хо < х < xо + d2 Þ

çf(х) - Aç < e

Возьмем d = min {d1, d2} Þ çf( x ) - A ½< e при çх -хоç< d, х ¹ хо. И тогда, согласно определения .

31. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если . Примеры: f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.

f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если или . Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если то f(x) − a = α(x), .Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если . Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если или .

Свойства бесконечно малых

1.Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где и Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|<δ2 имеем | β(x)|< ε/2.

Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет |f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.

2.Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

3.Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля,

есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробьесть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИИ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x

. Пример: .

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией. Пример:

Теорема 3. Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).

Теорема 4. Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.