61. Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных

Теорема 13.2. (Достаточное условие дифференцируемости функции).Если Z = f(x,y) обладает непрерывными частными производными и в данной области, то эта функция дифференцируема в этой области и ее дифференциал выражается формулой .

62. Производная по данному направлению

Пусть u = f(x,y) - функция, определенная в области w. Рассмотрим точку М(х,у) Î w и некоторое направление l, определяемое направляющими косинусами Cosa и Cosb = Sina (т.е. Cosa и Cosb - косинусы углов, образованных лучом l с положительным направлением осей координат Ох и Оу).

При перемещении в данном направлении l точки М(х,у) в точку М/(х + Dх, у + Dу) Î w функция u = f(x,y) получает приращение Du = f(х + Dх, у + Dу) - f(x,y), (14.1), которое называется приращением функции u в данном направлении. Если ММ/ = Dl есть величина перемещения точки М, то из DМРМ/ получаемСледовательно, Dl u = f(х + Dх, у + Dу) - f(x,y).

Определение 14.1. Под производнойфункции u в данном направлении к величине перемещения при условии, что последняя стремится к нулю, т.е. . Тогда частные производные, можно рассматривать как производные функции u в положительных направлениях осей координат Ох и Оу. Производнаядает скорость изменения функции в направлении l. Пусть u = f(x,y) - дифференцируема. Тогда, используя формулу полного дифференциала, будем иметь, где e1 ® 0, e2 ® 0 при Dх ® 0, Dу ® 0. Тогда в силу соотношений (14.2) получаеми, переходя к пределу при Dl ® 0 , что то же самое, что и Dх ® 0, Dу ® 0, имеем. З а м е ч а н и е. Пусть u=f(x,y,z). Ее производная в направлении

l = íСos a, Cos b, Cos gý будет.

63. Градиент и его свойства.

Определение 14.2. Говорят, что в данной области w определено скалярное поле, если для каждой точки М Î w задан некоторый скаляр (т.е. число)

U = f(M). (14.5)

Следовательно, U есть числовая функция точки. Примерами скалярных полей являются:

- температурное поле (т.е. распределение температуры в нагретом теле);

- концентрация вещества в растворе.

Пусть w (т.е. область) расположена на плоскости Оху; тогда любая ее точка определена координатами (х,у). При этом плоское скалярное поле (14.5) может быть записано в виде

U = f(х,у), ((х,у) Î w). Аналогично в пространстве Охуz U = f(х,у,z), ((х,у,z) Î w)

Таким образом, понятие скалярного поля представляет собой физическую трактовку функции нескольких переменных. Определение 14.3. Будем говорить, что в данной области w определено векторное поле, если для каждой точки М Î w задан некоторый вектор

Примеры.

1. Поле скоростей в данный момент времени точек потока жидкости.

2. Силовое поле, создаваемое некоторым притягивающим центром.

Для плоского векторного поля (14.6) мы будем иметь вектор-функцию a = F(x,y), ((х,у) Î w) (14.7) Отсюда, переходя к координатам вектора а, получим аx = F1(x,y), аy = F2(x,y).

Таким образом, задание плоского векторного поля (14.7) равносильно заданию двух скалярных полей. Аналогично для случая пространственного векторного поля

a = F(х,у,z), ((х,у,z) Î w);

аx = F1(x,y,z),

аy = F2(x,y,z), (14.8)

аz = F1(x,y,z).

В этом случае векторное поле эквивалентно трем скалярным полям.

Множество точек М, для которых скалярное поле (14.5) сохраняет постоянное значение f(M) = const, называется поверхностью (или линией) уровня скалярного поля (изоповерхностью). т.е. изоповерхность - это множество всех точек пространства Оxyz, где данная функция имеет одно и то же значение.

Определение 14.4. Пусть U=f(х,у) - дифференцируемая плоское скалярное поле (функция двух переменных). Тогда векторназывается градиентом поля.

Или подробнее где i,j - единичные вектора, направленные по осям Ох и Оу (координатные орты). Аналогично для пространства. Пусть U=f(х,у) - пространственное скалярное поле, тогда его градиент есть векторТаким образом, скалярное поле порождает векторное поле - поле градиентов. Под производной скалярного поля в данном направлении l понимаем. Производнаяпредставляет собой скорость изменения поля в данном направлении.