58. Частные производные первого порядка

Пусть задана функция Z = f(x,y). Для простоты будем предполагать существование функции в некоторой окрестности рассматриваемой точки M(х,у). Рассмотрим отношение частного приращения DxZ = f(x+Dx,y)-f(x,y) по переменной х к приращению Dх, т.е. Теперь устремим Dх ® 0. Если предел в (13.1) существует, то назовем его частной производной (первого порядка) функции Z = f(x,y) по х и будем обозначать, т.е. . Аналогично Определение 13.1. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии, что последнее стремится к нулю.

Заметим, что если от функции Z = f(x,y) берется производная то у считается постоянным; если же находитсято х - постоянной. Поэтому частная производная функции нескольких переменных равна производной той функции одной переменной, которая получится, если все независимые переменные данной функции, кроме соответствующей одной, считать постоянными, т.е. , где у - const и т. д. Пример 13.1. Пусть Z(х,у) = x3 ×Siny+y4.

59. Геометрический смысл частных производных

Пусть Z = f(x,y); ; Изобразим Z = f(x,y) - получим некоторую поверхность.

Возьмем точки М(х,у,z), N(x,y,0) - проекция точки М на плоскость ХоУ. Полагая у - const, мы получаем плоскую кривую Гx , представляющую собой сечение поверхности w соответствующей плоскостью, параллельной Оxz. Пусть МК - касательная к кривой Гx в точке М(х,у,z) и a - угол, образованный с положительным направлением оси Ох. Так как на основании смысла обычной производной имеем, аналогично .

60. Полный дифференциал функции двух переменных

Пусть Z = f(x,y) - функция двух независимых переменных х и у. Полное приращение этой функции

DZ = f(x + Dx, y + Dy) - f(x,y) (13.2)представляет разность значений данной функции в точках М(х,у) и М/(х+Dх,у+Dу). Тогда Если r ® 0, можно подобрать независящие от Dх и Dу величины А и В такие, что величина (выражения) А×Dх+В×Dу будет отличаться от Dz на величину высшего порядка малости по сравнению с r, и тогда это выражение будет называться главной частью полного приращения функции, т.е.

DZ = А×Dх + В×Dу + g×r , (13.3)где g ® 0 при r ® 0 (или, то же самое, g ® 0 при Dх ® 0 и Dу ® 0 ). Выражение (13.3) можно записать и в другом виде. Поскольку Dх = r×Cos j, Dу = r×Sin j ,

r = Dх×Cos j + Dу×Sin j.Отсюда DZ= А×Dх+В×Dу+a×Dх+b×Dу, (13.4) где a = g×Cos j ® 0 и b = g×Sin j ® 0 при r ® 0, т.е. Dх ® 0 и Dу ® 0, и обратно. Обобщая определение дифференциала функции одной переменной на случай функции двух независимых переменных, приходим к следующим определениям:

Определение 13.2. Под дифференциалом независимой понимается приращение этой переменной, т.е. dx = Dx и dy = Dy.

Определение 13.3. Полным дифференциалом функции Z = f(x,y) двух независимых переменных х и у называется главная линейная часть полного приращения этой функции.Это определение распространяется на функции любого числа переменных. Обозначая дифференциал

dZ= А×Dх + В×Dу, где А и В не зависят от Dх и Dу и, более того, DZ - dZ=a×Dх+b×Dу, где a, b бесконечно малые при Dх ® 0 и Dу ® 0. Функция, имеющая дифференциал в данной области, называется дифференцируемой в этой области. Если она дифференцируема, то имеет место (13.3) или (13.4). Если Z = f(x,y) дифференцируема, она непрерывна. Действительно, переходя к пределу в (13.3), получим, т.е. Z - непрерывна.