26. Понятие функции и способы её задания.
Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами различных множеств.
В самом общем виде, функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемому областью значений).
1. Если функция
задана выражением при помощи формулы,
то говорят, что она задана аналитически,
Для этого используется некоторый запас
изученных и специально обозначенных
функций, алгебраические действия и
предельный переход. Например,
.
2. Функцию можно задавать таблично, т.е. для некоторых значений х указать соответствующие значения переменной y. Данные такой таблицы могут быть получены как экспериментально, так и с помощью математических расчетов. Примерами табличного задания функций могут быть: логарифмические таблицы, таблицы тригонометрических функций.
3. Аналитический и
табличный способы задания функций
страдают отсутствием наглядности.
Графический
способ задания
функции - это геометрическое место точек
на плоскости с координатами
27. Элементарные функции и их классификация
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:
многочлен,
рациональная,
степенная (
)
показательная (
)
и логарифмическая (
)
тригонометрические
(
)
и обратные тригонометрические (
)
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.
Элементарные функции разделяются на алгебраические и трансцендентные.
Алгебраическая функция — функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть задана неявно с помощью алгебраического уравнения.
Более точное
определение: Функция
называется алгебраической в точке
,
если существует окрестность точки
,
в которой верно тождество
где
есть многочлен от n + 1 переменной.
Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.
Трансцендентная функция — аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. Простейшими примерами трансцендентных функций служат показательная функция, тригонометрические функции, логарифмическая функция, степенная функция.
28. Определение предела функции
Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.