Теоретичні довідки та приклад розв’язування задачі

Математичне сподівання випадкового процесу називають початковим моментом першого порядку, а кореляційну функцію – центральним моментом другого порядку.

Згідно визначенню моментів будь-якого порядку для випадкової величини (або системи випадкових величин) початковий момент порядку n випадкового процесу X(t) визначається формулою:

. (1.8)

Центральний момент порядку n випадкового процесу визначається формулою:

, (1.9) де – центрований випадковий процес.

Аналогічним чином можна визначити взаємні моменти вищіх порядків кількох випадкових процесів.

Якщо відома n-мірна щільність імовірності , то початковий момент порядку n випадкового процесу висловлюється формулою:

(1.10)

Аналогічною формулою визначається центральний момент порядку n:

(1.11)

Заняття 3. Характеристики суми випадкових процесів.

Теоретичні довідки та приклад розв’язування задачі

Теорема. Математичне сподівання суми скінченного числа випадкових процесів дорівнює сумі математичних сподівань доданків.

Наслідок. Математичне сподівання суми випадкового процесу та випадкової величини дорівнює сумі їх математичних сподівань.

Теорема. Якщо Z(t)=X(t)+Y(t), де X(t) і Y(t) – корельовані випадкові процеси, то

.

Теорема узагальнюється на випадок n попарно корельованих процесів.

Наслідок 1. Кореляційна функція суми некорельованих випадкових процесів дорівнює сумі кореляційних функцій доданків.

Наслідок 2. Кореляційна функція випадкового процесу та некорельованої з ним випадкової величини дорівнює сумі кореляційної функції випадкового процесу та дисперсії випадкової величини.

Тема 2. Диференціювання випадкових процесів.

Заняття 4. Характеристики похідної від випадкового процесу.

Теоретичні довідки та розрахункові формули

Похідною випадкового процесу X(t) називається середньоквадратична границя відношення приросту функції до приросту аргументу , коли :

. (2.1)

Для того, щоб випадковий процес X(t) мав похідну, достатньо існування другої мішаної частинної похідної від кореляційної функції при рівних значеннях її аргументів: .

Теорема. Математичне сподівання похідної від випадкового процесу X(t) висловлюється співвідношенням:

. (2.2)

Теорему можна узагальнити на випадок похідної n-го порядку від випадкового процесу.

Теорема. Кореляційна функція похідної від випадкового процесу X(t) висловлюється співвідношенням:

. (2.3)

Тема 3. Інтегрування випадкових процесів.

Заняття 5. Характеристики інтегралу від випадкового процесу.

Теоретичні довідки та розрахункові формули

Интегралом від випадкового процесу X(t) по відрізку [0,t] називається границя у середньоквадратичному інтегральної суми коли частковий інтервал максимальної довжини наближається до нуля (змінна інтегрування позначена через s для того, щоб відрізнити її від границі інтегрування t):

. (2.4)

Теорема. Математичне сподівання інтегралу від випадкового процесу висловлюється співвідношенням:

. (2.5)

Теорема. Кореляційна функція інтегралу від випадкового процесу висловлюється співвідношенням:

. (2.6)