8.4. Второе определение непрерывности
Рассмотрим функцию
в некоторой фиксированной точке х
(рис. 8.6). Перейдем
от значения х к другому значению
аргумента
,
при котором функция принимает значение
.
Точки х и
должны принадлежать области определения
функции.
Разность между
новым и первоначальным значением
аргумента называется приращением
аргумента и обозначается
.
Разность между
значением функции в новой точке и ее
значением в первоначальной точке
называется приращением функции
и обозначается
.
Поскольку
,
величина
.
Приращение аргумента
можно задавать произвольно. Приращение
функции
зависит от приращения аргумента Δх
и от точки х. Задав приращение
аргумента Δх, можно вычислить
приращение функции Δy.
Пример
8.14. Рассмотрим функцию
в точке
.
Дадим аргументу х приращение
и перейдем к новой точке
,
в которой функция принимает значение
.
Приращение функции Δy будет равно
.
Запишем условие
непрерывности функции
в точке
с помощью приращений функции и аргумента.
Пусть
– некоторая точка, в которой определена
функция
.
Перейдем от точки
к новой точке х. При этом приращение
аргумента
,
приращение функции
.
Тогда условие
непрерывности функции в точке
можно представить так: если
,
то
.
Иначе это записывается следующим
образом: если
,
то
.
Так как
,
а
,
определение непрерывности функции
в точке
можно сформулировать так: функция
называется непрерывной в точке
,
если в этой точке бесконечно малому
приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение функции.
Свойства функций, непрерывных в точке:
-
если функции
и
непрерывны в точке
,
то их сумма
непрерывна в этой точке; -
если функции
и
непрерывны в точке
,
то их произведение
также непрерывно в точке
; -
если функции
и
непрерывны в точке
,
то их отношение
является непрерывной функцией в этой
точке, если знаменатель
не равен нулю в этой точке; -
если
и
непрерывные функции, то сложная функция
также непрерывна; -
всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
-
функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке (рис. 8.7) ВСТАВИТЬ
-
функция, непрерывная на отрезке, имеет на этом отрезке наименьшее значение m и наибольшее значение M (рис.8.8).
-
Если функция непрерывна на отрезке
и
значения на концах отрезка
и
имеют противоположные знаки, то внутри
отрезка имеется точка
такая, что
(рис.
8.9).
Интересно отметить,
что функции, непрерывные на интервале
,
данными свойствами могут не обладать.
Например,
функция
на интервале (0; 1) непрерывна, но при x,
стремящемся к нулю справа, неограниченно
возрастает. Функция
непрерывна на интервале (0; 1), но не имеет
на этом интервале ни наименьшего, ни
наибольшего значения.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти пределы функции при различных значениях а.
8.15.
,
1)
;
2)
;
3)
.
8.16.
,
1)
;
2)
;
3)
.
8.17.
,
1)
;
2)
;
3)
.
8.18.
,
1)
;
2)
;
3)
.
8.19.
,
1)
;
2)
;
3)
.
8.20.
,
1)
;
2)
;
3)
.
8.21.
.
8.22.
.
8.23.
.
8.24.
.
8.25.
.
8.26.
.
8.27.
.
8.28.
. 8.29.
.
8.30.
.
8.31.
.
8.32.
.
8.33.
.
8.34.
.
8.35.
.
8.36.
.
8.37.
.
8.38.
.
8.39.
.
8.40.
.
8.41.
.
8.42.
.
8.43.
.
8.44.
.
8.45.
.
8.46.
.
8.47.
.
8.48.
.
8.49.
.
8.50.
.
8.51.
.
8.52.
.
8.53.
.
8.54.
.
8.55.
.
8.56.
.
8.57.
.8.58.
.
8.59.
.
8.60.
.
8.61.
.
8.62.
.
8.63.
.
8.64.
.
Вычислить односторонние пределы функций.
8.65.
а)
;
б)
.
8. 66. а)
;
б)
.
8.67. а)
;
б)
.
8.68. а)
;
б)
.
8.69. а)
;
б)
.
8.70.
, где
.
8.71.
.
8.72. а)
;
б)
.
Найти точки разрыва и построить график функций.
8.73.
.
8.74.
8.75.
8.76.
. 8.77.
.
8.78.
.
8.79.
.
8.80.
8.81.
8.82.
8.83.
8.84.
8.85.
8.86.
. 8.87.
8.88.
Исследовать данные функции на непрерывность в указанных точках.
8.89.
8.90.
8.91.
О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М