1. Четность и нечетность.

Множество М называется симметричным, если вместе с числом х оно содержит противоположное ему число (-x).

Пример 7.7. Множества ; ; ;

являются симметричными.

Будем рассматривать функции, определенные на симметричных множествах.

Функция называется четной, если для всех значений х из области определения этой функции.

Пример 7.8. Пусть , . Поскольку , функция является четной.

График четной функции симметричен относительно оси Оy.

Функция называется нечетной, если для всех значений х из области определения этой функции.

Пример 7.9. Пусть , . Поскольку , функция является нечетной.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Периодичность. Функция , называется периодической, если существует число , называемое периодом функции, такое, что и выполняется равенство

.

Для периодических функций верна следующая

Теорема. Если число Т является периодом функции , , то числа , где , также являются периодами этой функции.

Таким образом, если функция имеет период, то она имеет и бесконечное множество периодов. Если среди этих периодов есть наименьший положительный период, то его называют основным периодом данной функции.

Пример 7.10. Функции, имеют основной период .

Пример 7.11. Функции, имеют основной период .

2. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть и . Тогда функция возрастает на промежутке, если , и убывает, если (рис.7.1). ВСТАВИТЬ

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на некотором промежутке, если существует такое положительное число М >0, что для любого x из этого промежутка. В противном случае функция называется неограниченной.

Пример 7.12. Функция ограничена на всей числовой оси, т.к. для любого .

Пусть дана функция , , , причем любым двум различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, т.е. для любых , , таких, что . Тогда обратной для этой функции называется такая функция , для которой:

1. областью определения является множество N;

2. множеством значений является множество M;

3. значениями этой функции являются числа , для которых .

Пример 7.13. Пусть ; . Выразим переменную х: , . Следовательно, является функцией, обратной к функции . Так как традиционно независимую переменную обозначают через х, а функцию через у, то обратная функция примет вид .

Пример 7.14. Для функции обратной будет функция .

Можно доказать, что для любой строго монотонной функции существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функций расположены симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

2. Элементарные функции

К основным элементарным функциям относятся:

1. Степенная функция

Область определения: .

Область значений: , если п – нечетно, , если п – четно.

Четность, нечетность: нечетная, если п – нечетно; четная, если п – четно.

Периодичность: непериодическая.

Монотонность: возрастает при, если п – нечетно; убывает при и возрастает при если п – четно.

График: рис. 7.2 рис. 7.3

Область определения D(x): .

Область значений E(y): , если п – нечетно, , если п – четно.

Четность, нечетность: нечетная, если п – нечетно; четная, если п – четно.

Периодичность: непериодическая.

Монотонность: убывает при и при , если п – нечетно; возрастает при и убывает при если п – четно.

График: рис.7.4 рис. 7.5

Область определения: если п – нечетно; , если п – четно.

Область значений: , если п – нечетно, , если п – четно.

Четность, нечетность: нечетная, если п – нечетно; общего вида, если п – четно.

Периодичность: непериодическая.

Монотонность: возрастает при, если п – нечетно; возрастает при если п – четно.

График: рис. 7.6 рис. 7.7