8.2. Правила раскрытия неопределенностей

Рассмотрим отношение , где и бесконечно малые при функции. Известно, что с уменьшением числителя дробь уменьшается. С другой стороны, с уменьшением знаменателя дробь увеличивается. Поэтому, пока мы не знаем конкретного вида функций и , мы ничего не можем сказать о дроби . Отношение , где числитель и знаменатель являются бесконечно малыми при , называется неопределенностью вида .

Рассмотрим отношение , где функции являются бесконечно большими функциями при . О пределе этой дроби также ничего нельзя сказать, пока мы не знаем конкретного вида этих функций. Отношение , где числитель и знаменатель являются бесконечно большими при , называется неопределенностью вида .

Если функции и при или стремятся к бесконечности разных знаков, то их сумму называют неопределенностью вида .

Если , а функция является бесконечно большой при , то выражение называется неопределенностью вида .

Процедура нахождения предела функции при наличии неопределенности называется раскрытием неопределенности. При этом следует обратить внимание на то, что в определении предела функции не учитывается значение функции в предельной точке . Более того, значение функции может не существовать. Под знаком предела можно производить тождественные преобразования аналитического выражения, задающего функцию (разложение функций на множители или на слагаемые; выделение и сокращение общих множителей в дробях; приведение дробей к общему знаменателю; умножение и деление на некоторую функцию; перенесение иррациональностей из числителя в знаменатель или наоборот и др.). Кроме того, для раскрытия неопределенностей можно использовать замечательные пределы:

1. (первый замечательный предел);

2. (второй замечательный предел).

Пример 8.3.

.

Здесь имеется неопределенность вида . Раскладываем числитель на множители и сокращаем те из них, которые обращаются в предельной точке в нуль (но не равные нулю вблизи этой точки).

Пример 8.4.

В данном примере присутствует неопределенность вида . Избавляемся от иррациональности в числителе дроби, домножая и числитель, и знаменатель на выражение, сопряженное с числителем.

Пример 8.5.

.

Здесь имеется неопределенность вида . Делим и числитель, и знаменатель на , и учитываем, что и , где c – постоянное число.

Пример 8.6.

.

Здесь также имеется неопределенность вида . Делим и числитель, и знаменатель на , и учитываем, что при и все .

Пример 8.7.

.

Здесь также имеется неопределенность вида . Делим и числитель, и знаменатель на , и учитываем, что при и все ; следовательно, знаменатель дроби является бесконечно малой функцией. Согласно теореме, связывающей бесконечно малые и бесконечно большие функции, дробь является бесконечно большой.

Пример 8.8.

В этом примере для раскрытия неопределенности выражение в скобках привели к общему знаменателю. При этом вместо неопределенности вида мы получили неопределенность вида , которая легко раскрывается сокращением одинаковых множителей.

Пример 8.9.

.

Поскольку и , умножаем и делим числитель и знаменатель дроби на 7х и 3х и используем первый замечательный предел.

Пример 8.10.

.

Для того чтобы использовать второй замечательный предел, положим . Тогда , и при y стремится к . Отсюда: