8.3. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если выполняется следующее условие:

.

(8.7)

Анализируя определение непрерывности функции, видим, что оно содержит в себе четыре момента:

1. функция определена в точке , т.е. существует ;

2. существуют конечные односторонние пределы функции в точке , т.е. существуют

и ;

3. эти пределы равны, т.е.

,

следовательно, существует

;

4. предел функции при равен значению функции в точке , т.е.

.

Рассмотрим рис. 8.1, на котором изображена непрерывная функция. В точке функция принимает значение f().

Если аргумент х приближается к точке , то значения функции f(x) приближаются к ве­личине (независимо от того, приближается х к точке справа или слева). Таким образом, в точке выполняется условие

.

Функция будет непрерывна в точке , если в ней выполнятся четыре перечисленных условия. Если хотя бы одно из них не выполняется, функция f(x) в точке претерпевает разрыв.

Такова точка на рис.8.2. Условие 1) в ней выполнено, так как в этой точке функция опре­делена. Если справа, то значения функции f(x) приближаются к . Следовательно,

.

Если слева, то значения функции f(x) приближаются к числу А, причем . Итак, при функция f(x) имеет правый и левый пределы, т.е. условие 2) выполняется, но эти пределы не равны между собой. Следовательно, в данном случае

не существует и условие 3) не выполняется. Значит, – точка разрыва функции.

Если выполняется условие 2), но не выполняется хотя бы одно из остальных условий, то точка называется точкой разрыва первого рода. При этом, если выполняется условие 3), но не выполняется условие 4), получаем устранимый разрыв. Чтобы устранить этот разрыв, надо доопределить или переопределить значение функции в этой точке.

Пример 8.11. Исследовать на непрерывность функцию

график которой изображен на рис. 8.3.

Рассмотрим точку . В этой точке функция опре­делена и . При х, стремящимся к 2, функция имеет правый и ле­вый пределы:

Следовательно, , но , т.е. условие 4) не выполняется. Изменив значение функции в единственной точке , а именно, положив , мы получим непрерывную функцию.

Если выполняется условие 2), но не выполняется условие 3), получаем неустранимый разрыв, или скачок функции.

Пример 8.12. Исследуем на непрерывность функцию

График этой функции изображен на рис. 8.4.

Рассмотрим точку . Функция в этой точке определена: . Если х стремится к 3 справа, то , но если х стремится к 3 слева, то f(x) стремится к 9. В точке = 3 функция имеет скачок.

Если условие 2) не выполняется, т.е. хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, или не существует, то точка называется точкой бесконечного разрыва функции, или разрыва второго рода.

Пример 8.13. Исследовать на непрерывность функцию график которой изображен на рис. 8.5.

В точке функция не определена, а при х стремящемся к 0 значение стремится к , следовательно, в точке функция имеет бесконечный разрыв.

Непрерывность - это локальное (местное) свой­ство функции, т.е. свойство, которым функция может обладать в одной точке и не обладать в другой. Например, функция в точке имеет бесконечный разрыв, а в точке эта функция непрерывна.

Функция называется непрерывной на некотором множестве (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Функция непрерывна на всей числовой оси, если она непре­рывна при всех значениях х.

Пусть функция определена на отрезке [a, b]. В точках, расположенных слева от а, функция f(x) может быть не определена. Поэтому нет смысла рассматривать предел функции при . Рассмотрим правый предел функции при . Если

,

то функция f(x) в точке а называется непрерывной справа. Аналогично, если

,

то функция называется непре­рывной в точке b слева.

Если функция непрерывна в каждой точке интервала (а, b) и на концах а и b непре­рывна соответственно справа и слева, то говорят, что функция непрерывна на отрезке [а, b].