Глава 7

7.14. . 7.15. . 7.16. . 7.17. . 7.18. . 7.19. . 7.20. . 7.21. . 7.22. . 7.23. . 7.24. Четная. 7.25. Нечетная. 7.26. Нечетная. 7.27. Четная. 7.28. Общего вида. 7.29. Нечетная. 7.30. Нечетная. 7.31. Четная. 7.32. Нечетная. 7.33. . 7.34. . 7.35. . 7.36. . 7.37. .

Глава 8. Пределы и непрерывность функции

8.1. Определение предела функции

Предположим, что функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки а, быть может, за исключением самой точки а, т.е. в интервале , где любое сколь угодно малое положительное число. Пусть значения функции приближаются к b, когда значения аргумента приближаются к числу а.

То, что у приближается к b, означает, что разность становится как угодна малой, т.е. для любого положительного, сколь угодно малого числа будет выполняться неравенство . Так как х лежит в окрестности , выполняется или . Это неравенство можно записать в виде: , при этом х = а исключается из интервала .

Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого, сколь угодно малого положительного существует такое положительное число , зависящее от , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Предел функции обозначается так:

.

Замечание. Поскольку исключается из интервала , наличие или отсутствие предела функции при определяется поведением функции в окрестности точки а, но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке а.

Если , то функция называется бесконечно малой при x, стремящемся к а. Для бесконечно малых функций верны следующие теоремы:

Теорема 1. (о связи между функцией, ее пределом при и бесконечно малой). Переменную величину, имеющую предел, можно представить в виде суммы ее предела и бесконечно малой величины.

Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой.

Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой.

Число b называется пределом функции при x cтремящемся к , если для любого, сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех х, удовлетворяющий неравенству , выполняется неравенство . Предел функции обозначается следующим образом:

.

Рассмотрим предел функции для некоторых частных случаев:

1. x стремится к a, оставаясь больше а (обозначается );

2. x стремится к a, оставаясь меньше а (обозначается );

3. x стремится к ;

4. x стремится к .

Пусть при . Это значит, что неравенство выполняется для всех х, которые лежат в промежутке .

Число b называется правым пределом функции

,

если для всякого положительного числа существует положительное число , зависящее от , такое, что для всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Пусть при . Это значит, что неравенство выполняется для всех х, которые лежат в промежутке .

Число b называется левым пределом функции

,

если для всякого положительного числа существует положительное число , зависящее от , такое, что для всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Пусть . Это значит, что неравенство выполняется для всех из интервала . Следовательно, оно выполняется и для х из левого промежутка , и для х из правого промежутка . Это, в свою очередь, означает, что

, .

Функция имеет предел при , когда левый и правый пределы функции существуют и равны между собой.

Если , то функция называется бесконечно малой при . Все теоремы о пределах функций при справедливы также для пределов функций при .

Функция называется бесконечно большой при , если для любого, сколь угодно большого положительного числа Е существует такое положительное число , зависящее от Е, что для всех х, для которых , выполняется неравенство .

Функция называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа Е существует такое положительное число , зависящее от Е, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Если функция является бесконечно большой при (), то употребляется запись

().

Для бесконечно больших и бесконечно малых функций выполняется следующая

Теорема. Если функция является бесконечно большой при (), то функция является бесконечно малой при (), и наоборот.

При вычислении пределов необходимо знать, что предел элементарной функции при , если а принадлежит области определения этой функции, равен значению функции в этой точке .

Пример 8.1. .

Правила вычисления пределов:

1. предел постоянной величины равен этой постоянной;

   , где .

   (8.1)

2. предел суммы двух функций равен сумме пределов слагаемых, если оба предела существуют;

   .

   (8.2)

3. предел разности двух функций равен разности пределов слагаемых, если оба предела существуют;

   .

   (8.3)

4. предел произведения двух функций равен произведению пределов множителей, если оба предела существуют;

   .

   (8.4)

5. постоянный множитель можно вынести за знак предела;

   .

   (8.5)

6. предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если оба предела существуют и предел делителя не равен нулю.

, если .

(8.6)

Пример 8.2.

При решении задач полезно знать простейшие пределы:

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8.,

9., 10. .