-32-

Раздел 4 элементы математического анализа

Глава 7. Числовые функции

7.1. Определение функции

Если каждому числу x из множества X по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное (и единственное) число y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция . Буквой x обозначается независимая переменная или аргумент функции, y – зависимая переменная или значение функции, буквой f обозначается правило, по которому для каждого значения аргумента можно определить значение функции.

Определение функции предполагает:

1) наличие двух числовых множеств и ;

2. задание правила, по которому каждому числу cоответствует единственное число .

Множество значений, которые может принимать аргумент x, называется областью определения функции D(y).

Множество значений, которые принимает зависимая переменная y, называется областью изменения функции E(y).

Существует несколько способов задания функции:

1. Словесный, когда функция задается правилом, записанным в виде текста.

Пример 7.1. Пусть каждому числу x ставится в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее x. Это функция антье x, обозначаемая или .

, , ;

, – множество целых чисел.

2. Табличный, когда функция задается таблицей, содержащей значения аргумента x и соответствующие значения функции f(x), например, таблица логарифмов.

3. Графический, когда функция задается в виде графика.

Если ввести систему xOy координат на плоскости, на оси Оx откладывать значения аргумента, а по оси Оy – значения функции, то каждой паре чисел (х, y) будет соответствовать точка М(х, y) координатной плоскости.

Графиком функции называется множество точек плоскости, абcциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты – значениями функции.

4. Аналитический, когда функция задается одной или несколькими формулами.

Пример 7.2. .

Пример 7.3.

Если функция задана формулой, но при этом область ее определения не указана, и данная функция не связывается с конкретной задачей, то за область ее определения принимается множество таких значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Пример 7.4. . Область определения функции – вся числовая прямая , но если х – длина одной из сторон прямоугольника с периметром p, то у будет выражать площадь прямоугольника как функцию х, и .

Так же, как и с числами, с функциями можно производить арифметические действия: сложение , вычитание , умножение , деление (в область определения не входят те х, при которых .

Пример 7.5. . Данную функцию можно представить в виде , где, с областью определения , и , с областью определения . Область определения функции .

Пусть , , . Если для каждого определена функция , то функция называется сложной функцией аргумента х. В область определения сложной функции входят те и только те значения х, для которых значения содержатся в области определения функции ; х называется основным аргументом, u – промежуточным.

Пример 7.6. Функция является простой, ее аргумент –независимая переменная x; – сложная функция, ее можно представить как , где . Логарифмическая функция определена, если ее аргумент положительный, т.е. . Корни квадратного трехчлена равны , . Неравенство выполняется при .

Рассмотрим основные свойства функций.