
- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Саратовский государственный технический университет
- •Исследование решений дифференциального уравнения первого порядка аналитическим и численным методами
- •Решение дифференциального уравнения аналитическим путем
- •Произвести форматирование таблицы и графиков
- •Исследование решений дифференциального уравнения первого порядка аналитическим и численным методами
- •410054, Г. Саратов, ул. Политехническая, 77
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет
Балаковский институт техники, технологии и управления
Исследование решений дифференциального уравнения первого порядка аналитическим и численным методами
Методические указания
по выполнению лабораторной работы по курсу
«Теория автоматического управления»
для студентов специальности 120100
всех форм обучения
Одобрено
редакционно-издательским советом
Балаковского института техники,
технологии и управления
Балаково 2008
-
Цель работы. Изучение решений дифференциального уравнения первого порядка при различных исходных данных. Освоение аналитического и численного метода Эйлера решения дифференциальных уравнений. Освоение работы в электронных таблицах Excel.
-
П
остановка задачи. Задано дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее работу элемента
системы управления (рис. 1)
,
где
-
соответственно, входной и выходной
сигналы элемента,
- коэффициент
передачи и постоянная времени элемента.
Необходимо:
-
Освоить аналитическое решение дифференциального уравнения.
-
Разработать программу решения данного уравнения методом Эйлера в электронных таблицах Excel.
-
Освоить необходимые исходные данные для решения дифференциального уравнения.
-
Найти решения уравнения при различных начальных условиях, коэффициентах уравнения и законах изменения входного сигнала x(t).
-
Сравнить аналитическое и численные решения.
-
Решение дифференциального уравнения аналитическим путем
Решение
дифференциального уравнения заключается
в нахождении зависимости изменения во
времени выходной переменной
при следующих исходных данных:
-
дифференциальное уравнение с параметрами k,Т;
-
начальное значение выходной переменной
;
-
закон изменения во времени входной переменной
.
Найдем решение
дифференциального уравнения
при постоянном значении входного сигнала
.
Решение ищем в виде суммы свободной и вынужденной составляющих
-
Находим свободную составляющую решения:
- запишем
характеристическое уравнение
;
- найдем корень
уравнения
;
- запишем свободную составляющую решения дифференциального уравнения:
.
-
Находим вынужденное решение. Входной сигнал
относится к полиномам. Поэтому ищем решение в виде такого же полинома
.
Для нахождения значения В подставляем решение в исходное уравнение
,
,
тогда
.
Вынужденная
составляющая
.
-
Общее решение
-
Используя начальные условия, найдем постоянную
:
при
,
отсюда
-
Решение уравнения при постоянном входном сигнале
.
Первый элемент
выражения отражает влияние начальных
условий и показывает, что начальное
значение
уменьшается по экспоненциальному
закону с постоянной времени Т.
Второй элемент
выражения отражает влияние входного
сигнала при нулевых начальных условиях
и показывает, что при подаче на вход
звена первого порядка постоянного
сигнала выходной сигнал по экспоненциальному
закону с постоянной времени Т выходит
на значение
.
Время падения
первого элемента и выхода второго
элемента на расчетное значение с
точностью 5% (вход в 5% трубку от расчетного
значения) называется временем переходного
процесса и составляет
.
-
Метод Эйлера. При численном решении дифференциального уравнения время берется в дискретные моменты:
.
Непрерывный
входной сигнал
заменяется
ступенчатым дискретным сигналом
Пусть
есть решение дифференциального уравнения
при начальном значении
.
Следующее значение
можно определить из треугольника
.
Суть метода Эйлера
заключается в замене криволинейного
треугольника abc (рис. 2) на
прямоугольный abd. Тогда
значение выходной переменной
при
будет
Из прямоугольного
треугольника abd
.
Тогда следующее
значение
можно определить по его предыдущему:
.
На основании
геометрического смысла производной
тангенс угла наклона касательной
равен значению производной функции
в данной точке
,
которое можно определить по
дифференциальному уравнению:
.
Заменяя производную
на отношение
,
запишем выражение для значения
на основания значений
и
в
предыдущей точке:
.
Аналогично
запишем выражения для всех последующих
значений
;
… ;
В общем случае разностное рекуррентное уравнение имеет вид:
.
Таким
образом, используя данное уравнение,
можно последовательно точка за точкой
найти решение уравнения первого порядка
при заданных
,
параметрах уравнения
и известному входному сигналу
.
-
Первый этап работы. Получить решение дифференциального уравнения при единичном ступенчатом входном сигнале
и
нулевых начальных условиях
.
-
Включить компьютер и вызвать программу Excel.
-
Присвоить файлу название и записать на жесткий диск. В дальнейшем периодически (один раз в 10-15 мин производить перезапись файла).
-
В первой строке таблицы ввести номер лабораторной работы, фамилию и инициалы студента, номер группы.
-
Разработать таблицу для решения дифференциального уравнения (по образцу):
-
Подготовить шапку таблицы параметров и ввести параметры дифференциального уравнения k, T в верхней части столбца 3. Значения k, Т принимаются равными количеству букв в имени и фамилии студента.
-
Ввести шаг по времени, равный
.
-
Ввести нулевое начальное значение
.
-
Ввести значение входного сигнала
.
-
Подготовить шапку таблицы решения дифференциального уравнения.
-
Путем «протаскивания» номера строки заполнить столбец № п/п.
-
Заполнить столбец времени путем протаскивания формулы
.
-
Ввести формулу ввода столбца входного сигнала из ячейки
.
-
Записать начальное значение y в нулевой строке столбца 4
.
-
Ввести формулу расчета производной в столбец 5
-
по
значениям
в
предыдущей строке.
-
Начиная со второй строки столбца 4, ввести рекуррентное уравнение Эйлера для расчета текущего значения
по значениям элементов уравнения в предыдущей строке.
.
-
Построить график полученного решения уравнения.
-
Используя функцию «Специальная вставка», перенести полученное решение в столбец 6.
-
Второй этап работы. Рассчитать и построить графики трех семейств решений уравнения для различных значений:
-
начальных условий;
-
входного сигнала;
-
коэффициентов уравнения.
В верхней части столбцов 7-9 готовится таблица данных с изменяющимися начальными условиями; столбцов 10-12 - с изменяющимся коэффициентом передачи звена; столбцов 13-15 - с изменяющейся постоянной времени звена.
Для каждой комбинации исходных данных находятся решения путем переноса столбца данных в данные столбца 3, а полученных решений из столбца 4 с помощью команды «Специальная вставка» в столбцы 7-9; 10-12; 13-15.
Первое семейство кривых находится при постоянных значениях параметров и изменяющихся начальных условиях (НУ) и входном сигнале.
1-й расчет - при нулевых НУ и постоянном входном сигнале;
2-й расчет - при ненулевых НУ и нулевом входном сигнале;
3-й расчет - при ненулевых НУ и ненулевом входном сигнале.
Второе семейство кривых – исследование влияния коэффициента усиления звена при нулевых начальных условиях и постоянном входном сигнале.
Третье семейство кривых – исследование влияния постоянной времени звена при нулевых начальных условиях и постоянном входном сигнале.