- •Национальный Технический Университет Украины «Киевский Политехнический Институт»
- •РАсчет Замкнутой системы iiIпорядка Структурная схема
- •1.Составить математическую модель сау
- •2.Получить дифференциальное уравнение относительно выхода по задающему и возмущающему воздействиям
- •3.Определить передаточную функцию системы.
- •3.3. Передаточную функцию замкнутой системы по ошибке при действии задающего воздействия и равенстве 0 возмущающего воздействия
- •3.4. Передаточную функцию замкнутой системы по ошибке при действии возмущающего воздействия и равенстве 0 задающего воздействия
- •4.Вычислить временные характеристики
- •4.2.С помощью обратного преобразования Лапласа найти переходную и весовую функции
- •5.Частотные характеристики
- •5.1.Афчх
- •5.4.Логорифмитическая амплитудно-частотная характеристика
- •6.Произвести анализ устойчивости сау:
- •6.1.Критерий Вышнеградского
- •6.2.Критерий Рауса-Гурвица
- •6.3.Критерий Михайлова
- •6.4.Критерий Найквиста
- •Определение устойчивости по лачх
5.Частотные характеристики
5.1.Афчх
Т.к. Y(s) = G(s)* - MH(s)*
то, передаточная функция САУ по задающему воздействию:
W(s) = =
Подставим s=j*ω, тогда получим частотную характеристику :
W(j*ω) = = =
= ==
= - j*
Таким образом получили АФЧХ системы:
W(j*ω) = - j*
где
U(ω) = ReW(j*ω) = - действительная частотная характеристика
V(ω) = ImW(j*ω) = – мнимая частотная характеристика
ω |
U(ω) |
V(ω) |
0 |
1 |
0 |
1 |
1.091 |
-0.175 |
2 |
1.499 |
-0.606 |
3 |
0.873 |
-4.589 |
4 |
-1.413 |
-0.049 |
5 |
--0.57 |
0.13 |
∞ |
→ 0 |
→ 0 |
График АФЧХ
5.2.АЧХ
Амплитудно – частотная характеристика :
А(ω) =
A(ω) = =
= =
A(ω) =
ω |
A(ω) |
0 |
1 |
1 |
1.105 |
5 |
0.585 |
10 |
0.081 |
20 |
0.012 |
→ 0 |
График АЧХ
5.3.ФЧХ
ФЧХ системы определяется за формулой:
φ(ω) = arctg ()
φ(ω) = arctg() = arctg()
φ(ω) = arctg()
ω |
φ(ω) |
0 |
0 |
1 |
-0.159 |
5 |
-0.225 |
10 |
-0.667 |
20 |
-1.034 |
-1.034 |
График ФЧХ
5.4.Логорифмитическая амплитудно-частотная характеристика
ЛАЧХ определяется за формулой :
L(ω) = 20 * lg(A(ω))
L(ω) = 20*lg() = 20*lg(6,5625) – 10*lg()
ω, с-1 |
L(ω), Дб |
0.01 |
8.257*10-5 |
0.1 |
8.261*10-3 |
1 |
0.869 |
10 |
-21.804 |
100 |
-79.266 |
График ЛАЧХ
6.Произвести анализ устойчивости сау:
6.1.Критерий Вышнеградского
Передаточная функция замкнутой системы равна:
W(s) = , тогда характеристическое уравнение
= 0 <=> , где
а0=0,06 ; а1=0,7 ; а2=1 ; а3=6,5625
а0 , а1 , а2 , а3 > 0 - выполняется
а2*а1 > а3*а0 т.е. 0,7 > 0,39
Чтоб судить об устойчивости системы за критерием Вышнеградского, необходимо, выполнялись 2 пункта, что выполняется в данном случае.
Поэтому, за данным критерием система устойчива.
6.2.Критерий Рауса-Гурвица
Система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения – отрицательны. Тогда, в соответствии с критерием Рауса – Гурвица, для того, чтоб действительные части корней хар-го уравнения
b0*xm+b1*xm-1+b2*xm-2+…+bm-1*x+bm = 0
с действительными коэффициентами и b0 > 0 , были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все определители Δ1, Δ2, … Δm :
= 0
b0=0,06 ; b1=0,7 ; b2=1 ; b3=6,5625
Δ3 = = 1,81
Δ2 = == 0,7 + 7,8*0,06 = 1,168
Δ2 = 0,7
Т.к. условие устойчивости b0, b1, b2, b3 > 0 выполняется и Δ1, Δ2, Δ3 > 0 , то система устойчива
6.3.Критерий Михайлова
Характеристический полином замкнутой САУ :
D(s) =
Подставим S=j*ω и определим действительную и мнимую части :
D(j*ω) = ==
= ,тогда
U(ω) = Re D(j*ω) =
V(ω) = Im D(j*ω) =
ω |
U(ω) |
V(ω) |
0 |
6.563 |
0 |
1 |
5.862 |
0.94 |
2 |
3.763 |
1.52 |
3 |
0.263 |
1.38 |
5 |
-10.938 |
-2.5 |
∞ |
-∞ |
-∞ |
Годограф Михайлова
Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь при ω=0 на вещественной положительной полуоси, с ростом частоты ω от 0 до ∞ обходил последовательно в положительном направлении n квадрантов комплексной плоскости.
В нашем случае годограф начинается положительной вещественной полуоси, и проходит последовательно 3 квадранта и в последнем уходит в бесконечность, следовательно система устойчива