РГР / kontrolnaya_rabota_metod_goldfarba

Федеральное агентство по образованию

Московский государственный открытый университет

Чебоксарский политехнический институт

Кафедра

Управления и информатики в технических системах

Специальность 220201

Контрольная работа

по ТАУ

по теме: «Метод Гольдфарба».

Вариант №

Дата проверки: Выполнил студент:

Результат проверки: Учебный шифр:

Курс:

Замечания: Проверил:

2010 год

Оглавление

Задание на контрольную работу.

Используя соотношение , вычислить параметры периодических решений в нелинейной САР (если они имеются) и определить их устойчивость.

№ вар	Фамилия, имя, отчество		Параметры	Тип F(x)	Параметры F(x)
41.			k=90; Т0=0.2 с.	III	с =20; m = 0.25; b= 2.

В качестве нелинейного элемента y = F(x) задан III тип – релейная характеристика с гистерезисной петлей.

Решение.

Исследование системы проведем по методу гармонического баланса (метод Гольдфарба). Этот метод позволяет только определить наличие или отсутствие незатухающих колебаний в системе, т. е. в конечном итоге устойчивость системы.

Характеристическое уравнение для нелинейной САР замкнутой системы имеет вид:

(1)

Для графического решения характеристического уравнения его преобразуют к виду:

или (2)

Если на одном и том же чертеже и в одинаковых масштабах построить

годографы и , то их пересечение будет означать наличие авто-

колебаний; при этом частоту автоколебаний можно получить из годографа

, амплитуду – из годографа .

Удобно проводить проверку системы на наличие автоколебаний в следующем порядке:

1. Строим годограф (годограф Найквиста).

2. Строим годограф функции . Передаточная функция может быть представлена в виде

, (3)

где функции и , называемые коэффициентами гармонической линеаризации, имеют следующий вид для нелинейного элемента III типа:

(4)

Подставив и в (3) окончательно получим:

(5)

Получим уравнение для построения АФЧХ линейной части САР в разомкнутом состоянии:

(6)

Сделаем замену

(7)

Умножив числитель и знаменатель выражения (7) на комплексное число, сопряженное знаменателю, и отделяя вещественную и мнимую части, получим уравнения вещественной и мнимой частотных характеристик¹:

(8)

Задаваясь значениями w от 0 до ∞ вычислим и (см. табл. 1.).

Таблица 1.

w	0	0,5	1	4,5	5	10
	90,000	90,678	92,744	29,829	0,000	-27,000
	0,000	-4,580	-9,661	-182,628	-180,000	-0,046
w	50	100	200	300	1000	∞
	-0,907	-0,225	-0,056	-0,025	-0,002	0
	-0,006	-0,001	0	0	0	0

Согласно (3), запишем выражение обратной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком:

Функция представляется в виде:

(9)

Подставив в (9) выражения для и и преобразовав получим:

Для заданных численных значений b и с составим таблицу 2. значений и при изменении а от 0 до ∞.

b = 2, с = 20π (по условию)

Таблица 2.

а	2	5	10	50	100
	0,000	-0,057	-0,122	-0,624	-1,250
	-0,025	-0,025	-0,025	-0,025	-0,025
а	500	1000	5000	10000	∞
	-6,250	-12,500	-62,500	-125,000	-∞
	-0,025	-0,025	-0,025	-0,025	-0,025

Для оценки возможности автоколебаний в системе и их устойчивости строим с помощью пакета Maple 7 графики амплитудно-фазовой частотной характеристики линейной части системы и обратной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком, в координатах Р и Q (рис.1.а, б).

Рис. 1.а.

Рис. 1. б.

Рассмотрим график возле нуля, для этого изменим масштаб, как показано на рис. 2.

Рис. 2.

Рассмотрим взаимное положение годографов и :

1. Если годографы не пересекаются, то в системе возникновение колебаний невозможно.

2. Если годографы пересекаются в одной точке, то в системе возможны незатухающие колебания. Параметры автоколебаний w₀ и а₀ определяются

точкой пересечения годографов: w₀ по и а₀ по .

3. Если годографы пересекаются в двух точках, то это свидетельствует о наличие двух режимов автоколебаний: с большей и меньшей амплитудой. Режим с большей амплитудой соответствует предельному циклу устойчивых колебаний, режим с меньшей амплитудой существовать не может и потому называется неустойчивым.

Из нашего графика мы видим, что годографы пересекаются в одной точке, т.е. в системе возможны незатухающие колебания. С помощью пакета Maple 7 вычислим параметры периодических решений в нелинейной САР.

По методу Гольдфарба, если двигаться по линии в направлении возрастания амплитуды а, то точке выхода из контура, т.е. точке пересечения годографов, соответствует устойчивое периодическое решение.

Использованная литература.

Воронов А.А. и др. Основы теории автоматического регулирования и управления. Учеб. пособие для вузов. М., «Высшая школа», 1977

Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб, Изд-во «Профессия», 2003

Федоренко А.А., Иванчура В.И. Теория автоматического управления: учеб. пособие. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004

1 Иванов А.А. Теория автоматического управления и регулирования. М., изд-во «Недра», 1970

9