Математична модель об’єкта рівнЯ

В залежності від технологічного обладнання i методу вимірювання, об’єкти рівня описуються різними математичними виразами. Розглянемо основні види об’єктів регулювання рівня.

1. В резервуар поступає потік рідини F_i, одночасно з нього насосом-дозатором відкачується потік з постійною витратою F₀. В цьому випадку рівень рідини в резервуарі можна регулювати, змінюючи витрату потоку рідини на вході. Швидкість зміни об’єму рідини dv в резервуарі дорівнює різниці витрат цієї рідини на вході і виході:

. (1)

Звідки отримуємо:

, (2)

де v - об’єм рідини в резервуарі.

Для вертикального резервуару, з сталою по висоті площею поперечного перерізу, відносний рівень рідини дорівнює її відносному об’єму:

(3)

або, враховуючи попереднє рівняння

, (4)

де V - ємність резервуару.

Для того, щоб подати це рівняння в безрозмірному вигляді, віднесемо витрати потоків на вході в резервуар i на виході з нього до максимальної пропускної здатності клапана на вхідному трубопроводі F:

, (5)

де f_i і f₀ - відносний притік рідини в резервуар i відносна витрата рідини з резервуару (рис. 1).

Таким чином стала часу Т такого об’єкта дорівнює:

. (6)

Розглядуваний об’єкт називають нейтральним (або без самовирівнювання). Треба зауважити, що за виглядом рівняння руху він аналогічний І-регулятору, причому h – вихідна величина, f_i-f₀ - розузгодження (вхідна величина), V/F - стала часу об’єкта - час, протягом якого резервуар повністю заповниться (або повністю спорожниться) при максимальному притоку рідини в резервуар (або максимальній витраті рідини з резервуару). Реакція об’єкта на стрибкоподібне збурення показана на рис.2. Як видно із рис.2., відносна зміна рівня рідини в резервуарі h за час V/F рівна відносній зміні витрати рідини f=f_i-f₀.

Рис.2. Стрибкоподібна зміна навантаження (а) та перехідний процес в об’єкті рівня без самовирівнювання (б)

Рівень рідини в резервуарі можна регулювати, змінюючи вручну ступінь відкриття прохідного січення клапана на вході в резервуар. У противному випадку, якщо притік рідини в резервуар буде відрізнятися від її відтоку хоча б на дуже малу величину, резервуар, зрештою, або переповниться рідиною, або цілком спорожниться. Таким чином, нейтральний об'єкт не може сам прийти в рівноважний стан: він не має природного стану динамічної рівноваги або сталого режиму. Нейтральні об'єкти не можна на тривалий час залишати без нагляду, якщо вони не обладнані системами автоматичного регулювання.

Більшість об'єктів, у яких регулюється рівень рідини, відноситься до нейтральних об'єктів. Звичайно регулювання їх не викликає труднощів, якщо їхні особливості враховані заздалегідь. Однією з особливостей є наявність фазового зсуву. Як і інтегральні регулятори, нейтральні об'єкти при коливаннях у них регульованого параметра мають запізнення по фазі рівне 90°.

2. Якщо замість насоса-дозатора поставити клапан, то тоді підвищення рівня рідини викличе збільшення витрати рідини з резервуару. Така дія, направлена на встановлення рівноваги в системі, називається “самовирівнюванням”. Вплив самовирівнювання аналогічний до дії П - регулятора, який ніби знаходиться в середині об’єкта (рис.3).

Припустимо, що витрата рідини, яка витікає з резервуару, прямопропорцiйна її напору:

, (7)

де k - коефіцієнт пропорційності (в дійсності це співвідношення нелінійне). Рівень рідини не змінюється в часі лише при f₀=f_i. Інакше, будь-яка постійна по величині зміна притоку рідини в резервуар відносно її витрати при рівноважному стані об’єкта приведе до встановлення нового значення рівня:

(8)

При стрибкоподібному збільшенні притоку рідини в резервуар рівень в початковий момент часу почне змінюватися з тою самою швидкістю, з якою він змінювався б в об’єкті без самовирівнювання, так як витрата рідини з резервуару f₀ ще не почала збільшуватися. З наближенням f₀ до f_i швидкість підвищення рівня падає. Нове постійне значення рівня рідини в резервуарі досягається за нескінченно великий проміжок часу:

. (9)

Підставляючи значення f₀, одержимо

(10)

або

. (11)

В цьому диференціальному рівнянні першого порядку регульований параметр h зв’язаний з керуючою дією f_i як в усталеному, так i в не усталеному режимі. Треба зауважити, що стала часу такого об’єкту буде дорівнювати:

, (12)

а коефіцієнт передачі:

. (13)

3. Об’єкт регулювання рівня рідини можна розглядати i як двоємнiсний, так як давач рівня часто буває винесений у додаткову вимірювальну камеру. До основного резервуару пiд’єднана вимірювальна камера, в якій фіксується рівень рідини в резервуарі; при цьому зміна рівня c в камері відстає від зміни рівня h в резервуарі (рис.4):

(14)

Постійна часу в камері представляє собою результат від ділення об’єму камери на максимальну швидкість подачі рідини в камеру. Підставимо рівняння (11) в (14) і отримаємо:

(15)

(16)

На основі останнього рівняння, функція передачі для такого об’єкта буде мати вигляд:

,

де

; .