§ 2. Математические модели схем эвс

Для описания функционально-логических схем цифровых устройств и принципиальных электрических схем аналоговых устройств используются три основные математические модели (ММ):

1. граф коммутационной схемы (ГКС);

2. гиперграф (ГГ);

3. взвешенный неориентированный граф (ВНГ).

Граф коммутационной схемы

Введем следующие обозначения:

– множество элементов схемы, причем e₀ соответствует фиктивному элементу, например, разъему.

– множество цепей схемы.

– множество контактов i-го элемента.

– множество контактов всех (n+1) элементов схемы.

ГКС – треххроматический граф с вершинами трех типов («элемент», «контакт», «цепь») и ребрами двух типов W и F («элемент–контакт» – W, «контакт–цепь» – F).

Для примера рассмотрим схему, приведенную на рисунке 2.1.

Рис. 2.1.

ГКС для схемы рис. 2.1 приведен на рисунке 2.2.

Рис. 2.2.

Для описания ГКС можно использовать списковые структуры (динамические массивы). Различают два вида списков:

1. списки элементов по цепям;

2. списки цепей по элементам.

Список элементов по цепям представляется последовательностью пар чисел, первое из которых описывает элемент схемы, подключенный к некоторой цепи, а второе число задает номер контакта этого элемента, при помощи которого он подключен к цепи. Последовательность элементов списка, отделенная знаком “;” (точка с запятой), описывает одну цепь схемы. Список элементов по цепям для схемы рис. 2.1 имеет вид:

Наиболее удобным является список цепей по элементам, из которого сразу видно какие цепи подключены к элементу, а именно: каждая из пар чисел первым числом описывает номер контакта некоторого элемента, а вторым – номер цепи, к которой подключен элемент при помощи данного контакта. Последовательность элементов списка, отделенная знаком “;” (точка с запятой), описывает один элемент схемы. Список цепей по элементам для схемы рис. 2.1 имеет вид:

ГКС может быть описан с помощью специальных языковых средств:

,

где L – признак элемента; далее, не менее чем через один пробел, следуют номер элемента – 1, тип элемента – 2, а также список цепей, в котором через запятую перечисляются номера цепей, инцидентных данному элементу, с указанием в скобках за номерами цепей, номеров контактов, подключающих цепь к элементу.

Для описания ГКС можно использовать матрицы инцидентности (A и B), определяющих множество ребер типа F («контакт–цепь») и типа W («элемент–контакт»).

Для схемы рис. 2.1 матрица A будет иметь следующий вид:

			k01	k02	k11	k12	k13	k21	k22	k31	k32
		v1	1	0	1	0	0	0	0	0	0
A	=	v2	0	0	0	0	1	1	0	1	0
		v3	0	0	0	1	0	0	0	0	1
		v4	0	1	0	0	0	0	1	0	0

Для схемы рис. 2.1 матрица B будет иметь следующий вид:

			k01	k02	k11	k12	k13	k21	k22	k31	k32
		e0	1	1	0	0	0	0	0	0	0
B	=	e1	0	0	1	1	1	0	0	0	0
		e2	0	0	0	0	0	1	1	0	0
		e3	0	0	0	0	0	0	0	1	1

ГКС может быть описан с помощью таблицы контактов:

ρ_max – наибольшее число контактов у одного элемента.

Таблица контактов для примера рис. 2.1 выглядит следующим образом:

	1	2	3
e0	1	4
e1	1	3	2
e2	2	4
e3	2	3

ГКС является наиболее точной моделью и обычно используется при решении задач трассировки и размещения разногабаритных элементов.