4. Расчеты при начислении сложных процентов
В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием сложных процентов. Принципиальное их отличие от простых в том, что база для исчисления процентного платежа (дисконта) меняется на протяжении всего срока финансовой операции за счет периодического присоединения (снятия) начисленного ранее дохода (скидки), в то время как база при использовании простых процентов остается неизменной.
Расчеты по правилу сложных процентов часто называют НАЧИСЛЕНИЕМ ПРОЦЕНТОВ НА ПРОЦЕНТЫ, а процедуру присоединения начисленных процентов — их РЕИНВЕСТИРОВАНИЕМ, или КАПИТАЛИЗАЦИЕЙ.
Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением. Как правило, сложные проценты применяются в средне- и долгосрочных финансовых операциях. Но в любом случае, если начисленные проценты (например, по вкладу) капитализируются, расчеты итоговой наращенной суммы следует вести по формулам сложных процентов, а также при:
Наращение по сложной ставке процентов (i)
Если расчет осуществляется по ставке декурсивных процентов i, то формулу для определения наращенной суммы через n периодов можно вывести, прослеживая путь наращивания с учетом капитализации процентов в конце каждого из n периодов.
- FV к концу n-го
периода,
где i — ставка процентов за период;
n — срок финансовой операции и число процентных периодов, так как проценты исчисляются по истечении каждого отрезка срока.
Согласно общей теории статистики, если известны цепные темпы роста, то чтобы получить базисный, надо перемножить все имеющиеся цепные темпы роста. Ставка процента за период — цепной темп прироста; 1 +i — цепной темп роста. Поскольку мы рассматриваем постоянную ставку за период, т.е. темпы роста постоянны, то общий базисный темп роста за весь период имеет вид:
.
Выражение
называют коэффициентом (множителем)
наращения.
Мы обозначили множитель наращения
.
Следовательно, множитель наращения показывает, во сколько раз увеличилась начальная сумма денег при заданных условиях (n, i).
Эффективная и номинальная ставки процентов
Если проценты начисляются и присоединяются не по истечении года, а чаще (m раз в год), то говорят, что имеет место т-кратное начисление процентов. Наращение идет быстрее, чем при разовой капитализации. В такой ситуации в условиях финансовой сделки оговаривают не ставку за период, а годовую ставку (обозначим j), на основе которой и исчисляют процентную ставку за период (j/m). При этом годовую базовую ставку (j) называют номинальной в отличие от эффективной ставки (i), которая характеризует полный эффект (доходность) операции с учетом внутри-годовой капитализации. Величина эффективной ставки обеспечивает такой же результат при начислении процентов один раз в год по ней, что и m-кратное наращение в год по ставке j/m (исходя из j).
Поэтому:
