II. Расчетно-графическая часть

Имеем ряд данных натурных наблюдений (Х₁,Х₂, ... Х_N).

1. Построение вариационного ряда:

(Операция заключается в расположении данных натурных наблюдений в порядке возрастания X_min ... X_max)-

2. Группировка вариационного ряда — деление вариацион­ного ряда на части:

(необходимо определить: количество классов (интервалов), длину и границы каждого класса, частоту).

а) Количество классов, на которые необходимо разделить вариационный ряд, определяется различными способами (4, 7, 8, 12, 14, 15): с помощью таблиц или формул; в подавляющем боль­шинстве случаев количество интервалов зависит от объема выбор­ки.

Для определения количества классов используем формулу Старжесса:

К = 1 + 3,3-lgN

где К—количество классов;

N— объем выборки или количество значений в ряду.

б) Определение длины каждого интервала:

Определение размаха или амплитуды колебания случай­ной величины:

R = X_max - X_min

где R — размах (мг/л);

h — длина каждого интервала.

в) Определение границ каждого интервала:

1. - границы 1-го интервала;

2. - границы 2-го интервала;

……………………………………………………………

6. - границы 6-го интервала.

г) Определение эмпирической частоты

Частота - это количество значений, попавших в каждый интервал.

3. Определение мер положения, рассеивания и характери­стики формы кривой распределения.

а) Определение мер положения:

Целью исследования является определение центра распре­деления:

Среднее арифметическое значение (основной показатель, входящий в характеристику большинства законов распределения) является первым начальным моментом и вычисляется по следую­щей формуле:

где Х_ср — среднее арифметическое значение выборки (мг/л);

Xi — элементы выборки (мг/л).

Если учитывать, что ряд натурных наблюдений вариаци­онный и сгруппированный, то среднее арифметическое значение можно рассчитать по следующей зависимости:

где n_i— частота каждого интервала;

Х_i^* - среднее значение каждого интервала (мг/л).

Среднее арифметическое значение каждого интервала рас­считывается, как полусумма границ интервалов.

Мода (значение имеющее максимальную частоту, т.е. наиболее часто встречаемое значение случайной величины в вы­борке) определяется по формуле:

где X₀ - начало модального интервала (мг/л);

n_i — частота модального интервала;

n_(i-1) и n_(i+1) — соответственно частоты предыдущего и после­дующего за модальным интервалов.

Медиана (определение серединного элемента выборки):

где X₀ - начало медианного интервала;

T_(i-1) — сумма частот интервалов предшествовавших медиан­ному;

n_i — частота медианного интервала,

б) Меры рассеивания:

Характеристикой рассеивания или отклонения случайной величины от центра распределения выступает дисперсия - второй центральный момент.

Согласно методу моментов дисперсия определяется по формуле:

Для определения стандартного отклонения из дисперсии извлекается квадратный корень, полученная величина называется средним квадратичным отклонением и обозначается σ (мг/л). Нор­мированное отклонение определяется коэффициентом вариации:

в) Характеристики формы кривой распределения:

Характеристиками формы кривых распределения высту­пают третий и четвертый центральные моменты) третий централь­ный момент характеризует асимметричность ряда, т.е. неравномер­ность распределения случайной величины относительно центра и определяется по формуле:

Безразмерный коэффициент асимметрии (С_s) определяется отношением третьего центрального момента к кубу среднего квад­ратичного отклонения.

Четвертый центральный момент характеризует форму симметричной кривой распределения:

Показателем остро- или плосковершинности выступает ко­эффициент эксцесса (С_е), который определяется отношением чет­вертого центрального момента к среднему квадратичному откло­нению в четвертой степени, за вычетом коэффициента три.