Введение в анализ. Комплексные числа. Основные теоретические сведения.

Л и т е р а т у р а: [1], гл. 4; [3], гл. 3; [4], гл. II; [5], гл. VI; [6], гл. IV.

1.Полярная система координат представляет собой полюс о и полярную ось ое с выбранным на ней масштабом.

П роизвольная точка М в полярной системе координат имеет две координаты (), где - полярный радиус, - полярный угол.

Рассмотрим полярную и прямоугольную системы координат такие, что полюс совпадает с началом координат, а полярная ось – с положительной полуосью Ох.

Прямоугольные координаты (х,у) точки М и ее полярные координа-

ты () связаны соотношениями:

,

, (1) 2. Определение конечного предела в точке:

Число А называется пределом функции при , если для любого существует такое, что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство:

Обозначим или при

Функция называется бесконечно малой при , если .

Функция называется бесконечно большой при , если .

Две функции и одновременно стремящиеся к нулю или к бесконечности при , называются эквивалентными, если

Обозначим

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменяется, если каждую из них заменить эквивалентной функцией, т.е.

, если , . (19)

3. К основным элементарным функциям относятся:

1) Степенная функция ,

2) Показательная функция ,

3) Логарифмическая функция ,

4) Тригонометрическая функция , , , ;

5) Обратные тригонометрические функции: , , , .

Предел элементарной функции в точке, принадлежащей области определения функции равен ее значению в этой точке, т.е. .

При вычислении пределов могут получаться неопределенности вида: , , , , . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

1) Сокращение на множитель, создающий неопределенность;

2) Деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (при );

3) Применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;

4) Использование двух замечательных пределов;

- I замечательный предел

- II замечательный предел

Отметим также, что: , если ;

, если , ,число

, если , ;

, если , .

4. Функция называется непрерывной в точке , если:

1) функция определена в точке ;

2) существуют конечные односторонние пределы функции:

, ;

3) односторонние пределы равны:

;

4) предельное значение функции в точке равно ее значению : .

Обозначим .

Точка называется точкой устранимого разрыва, если (нарушается условие 4).

Точка называется точкой разрыва первого рода, если оба односторонних предела конечны, но (нарушается условие 3).

Точка называется точкой разрыва второго рода, если не существует хотя бы один из односторонних пределов (нарушение условия 2).

5. Выражение вида называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно) , - мнимая единица,

- действительная часть, - мнимая часть комплексного числа , - модуль и аргумент числа .

Если известны действительная x и мнимая часть , то находим по формулам: , .

Если известны и, то x, y находим по формулам: , .

Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис.)

Извлечение корня n-й степени (n-натуральное число) из числа производится по формуле:

;

где - арифметический корень из модуля 2, = 0, 1,2,…, n-1.

6. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Е сли r – радиус окружности, а точка С (a, в) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид .

Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение

7 . Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Если фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках F₁(с,0) и F₂(-c,0), то получится простейшее (каноническое) уравнение эллипса:

,

где - большая полуось,

- малая полуось.

, и с (половина расстояния между

фокусами) связаны соотношением

8. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если поместить фокусы гиперболы в точки F₁(-c, 0) и F₂(c, 0), то получится каноническое уравнение гиперболы: , где - действительная полуось, - мнимая полуось, , , с связаны соотношением .

9. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка

F, то уравнение параболы имеет вид: .

В зависимости от расположения фокуса и директрисы парабола имеет следующий геометрический вид и уравнение:

10. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Охy к новой системе О₁х₁y₁, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Если (х₀, y₀) – координаты начала координат О₁ новой системы в старой системе координат,

(х, y) – координаты произвольной точки М в старой системе Охy, - координаты точки М в новой системе Ох₁y₁, то следующие формулы позволяют находить старые координаты х и y по известным новым и наоборот: .

Пример 1. Изобразить на комплексной плоскости числа:

1), 2) .

Записать число в тригонометрической, а число - в алгебраической форме.

Р е ш е н и е. 1) Для числа имеем , . Откладывая по оси Ох , а по оси Оy , получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу .

Запишем число в тригонометрической форме: Модуль числа находим по формуле

.

Аргумент определяем по формуле: .

Так как число четверти, то .

Тригонометрическая форма имеем вид: .

2) Модуль числа равен , а аргумент . Для изображения этого числа на комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом к полярной оси и откладываем на нем отрезок длиной . Полученная точка соответствует числу .

Его действительная часть , а мнимая часть . Таким образом, алгебраическая форма числа имеем вид .

Пример 2. Вычислить (см. пример 9).

Р е ш е н и е. Используя формулу, получаем

=0, 1, 2

При =0 ;

При =1 ;

При =2

Пример 3. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду с помощью параллельного переноса осей координат. Определить вид кривой и построить ее график.

Р е ш е н и е. Выделим в левой части полный квадрат по переменной х:

Делим левую и правую часть на 9:

- это уравнение эллипса.

Чтобы записать уравнение в каноническом виде, нужно осуществить параллельный перенос, т.е. перейти к новым координатам: .

Получим каноническое уравнение эллипса:

= 3 – большая полуось,

= - малая полуось.