- •1. Исходные понятия
- •2. Начальные условия и задача коши
- •3. Общее решение и общий интеграл
- •4. Метод разделения переменных
- •5. Однородное уравнение первого порядка
- •6. Линейное уравнение первого порядка
- •7. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •7.1. Уравнение вида
- •7.2. Уравнение, не содержащее явно неизвестную функцию y
- •7.3. Уравнение, не содержащее явно независимую переменную X
- •8. Линейное уравнение второго порядка
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Свойства решений однородного линейного уравнения
- •8.3. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами
- •8.4. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения.
- •9. Метод вариации произвольных постоянных
- •10. Метод неопределенных коэффициентов
- •Литература
- •Часть 1,2. М.: "Оникс 21 век". – 2003.
- •Михаил Юрьевич Ястребов
- •Дифференциальные уравнения
- •Учебное пособие
8.4. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения.
Определение. Для линейного уравнения второго порядка
соответствующим однородным уравнением называется уравнение
.
Можно доказать, что относительно структуры общего решения неоднородного линейного уравнения справедлива следующая
Теорема 4. Общее решение неоднородного уравнения представимо суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения : .
Доказательство. Поскольку
,
то действительно является решением неоднородного уравнения. Далее, зависит от произвольных постоянных и , поскольку от них зависит функция .
Остается убедиться, что за счет выбора значений этих постоянных можно получить решение задачи Коши с любыми наперед заданными начальными условиями . Поскольку — общее решение соответствующего однородного уравнения, то можно выбрать такие значения постоянных и , при которых
;
и
.
Тогда для функции при этих значениях и :
и
. ▄
9. Метод вариации произвольных постоянных
(МЕТОД ЛАГРАНЖА)
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
.
Согласно изложенному в п. 8.4, его общее решение представимо в виде . Общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде
. (22)
с произвольными постоянными . Функции , в зависимости от корней характеристического уравнения, имеют вид:
(а) — при , ;
(б) — при , ;
(в) — при ,
.
Таким образом, остается найти какое-либо частное решение исходного неоднородного уравнения . Метод вариации произвольных постоянных, предложенный Лагранжем, предполагает отыскание в виде, аналогичном (22), но уже с переменными множителями при и :
.
Здесь – подлежащие определению неизвестные функции.
Вычислим производные частного решения (аргумент для краткости опускаем):
.
Наложим на функции условие:
; (23)
тогда
.
Дифференцируем повторно:
.
Подставим выражения для в исходное уравнение и сгруппируем по отдельности слагаемые с и с :
.
Множители при и равны тождественно нулю, поскольку функции и являются решениями однородного уравнения, так что
. (24)
Соотношения (23) и (24) дают систему двух уравнений относительно неизвестных :
(25)
Решая эту систему, получим выражения для через уже известные функции , после чего сами функции находятся интегрированием.
В качестве итога сформулируем алгоритм решения неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных:
1. Решение соответствующего однородного уравнения, получение функций .
2. Запись общего решения соответствующего однородного уравнения в виде .
3. Вычисление производных .
4. Запись системы (25) для отыскания .
5. Решение системы, получение функций .
6. Нахождение каких-либо первообразных ин-
тегрированием функций .
7. Запись частного решения неоднородного уравнения в виде
.
8. Запись общего решения неоднородного уравнения:
.
Пример. Решим методом вариации произвольных постоянных уравнение . Следуя алгоритму, последовательно получаем:
1. ; ; ;
.
2. .
3. .
4.
5. .
6. Интегрируя по частям, имеем:
.
.
7. .
8. .