- •1. Исходные понятия
- •2. Начальные условия и задача коши
- •3. Общее решение и общий интеграл
- •4. Метод разделения переменных
- •5. Однородное уравнение первого порядка
- •6. Линейное уравнение первого порядка
- •7. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •7.1. Уравнение вида
- •7.2. Уравнение, не содержащее явно неизвестную функцию y
- •7.3. Уравнение, не содержащее явно независимую переменную X
- •8. Линейное уравнение второго порядка
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Свойства решений однородного линейного уравнения
- •8.3. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами
- •8.4. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения.
- •9. Метод вариации произвольных постоянных
- •10. Метод неопределенных коэффициентов
- •Литература
- •Часть 1,2. М.: "Оникс 21 век". – 2003.
- •Михаил Юрьевич Ястребов
- •Дифференциальные уравнения
- •Учебное пособие
7. Уравнения, допускающие понижение порядка
7.1. Уравнение вида
Решение уравнения означает отыскание функции по ее производной -го порядка.
При каждом интегрировании производной ее порядок на
единицу понижается: .
Интегрируя последовательно раз, получаем (при каждом интегрировании добавляется очередная произвольная постоянная):
;
;
…
.
Таким образом, найденная функция , в соответствии с определением общего решения, зависит от произвольных постоянных.
Пример. Для уравнения третьего порядка найдем общее решение, а затем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Последовательные интегрирования дают:
;
;
— общее решение.
Подставляя начальные условия в полученные выражения для , получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными :
Отсюда: , так что решение задачи Коши имеет вид: .
7.2. Уравнение, не содержащее явно неизвестную функцию y
Рассмотрим уравнение второго порядка вида , не содержащее явно искомую функцию .
Введем новую неизвестную функцию . Тогда , и уравнение принимает вид: . Это уравнение первого порядка. Если найдено его общее решение , то возвращаясь к исходной неизвестной функции , получаем , так что находится интегрированием:
.
Аналогичным образом можно понизить на единицу порядок не содержащего явно уравнения .
Пример. . Полагая , приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции :
Ограничимся случаем , , что означает строгое возрастание искомой функции (так как ). Тогда
,
или
.
Наконец, интегрируя по частям, получаем общее решение:
.
7.3. Уравнение, не содержащее явно независимую переменную X
Рассмотрим уравнение второго порядка вида , не содержащее явно независимую переменную .
Будем предполагать строго монотонной функцией. Тогда существует обратная функция , и производные можно рассматривать как сложные функции независимой переменной :
.
Введем новую неизвестную функцию . По правилу дифференцирования сложной функции
,
так что исходное уравнение второго порядка переходит в уравнение первого порядка относительно новой неизвестной функции :
. (13)
Если найден общий интеграл уравнения (13)
,
то, заменяя в нем на , приходим к уравнению первого порядка относительно исходной неизвестной функции :
.
Таким образом, решение уравнения второго порядка сводится к последовательному решению двух уравнений первого порядка.
Пример. Рассмотрим уравнение . Полагаем ; тогда . Исходное уравнение преобразуется к виду: . Ограничиваясь случаем , получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Откуда
.
Произвольную константу интегрирования удобно записать в виде , поскольку логарифмическая функция принимает все значения от до . Тогда
.
.
Поскольку здесь постоянный множитель при , записанный в виде , принимает, как и множитель , все вещественные значения, можно записать:
Возвращаемся к исходной неизвестной функции :
—
общий интеграл.