8.4. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения.
Определение. Для линейного уравнения второго порядка
соответствующим однородным уравнением называется уравнение
.
Можно доказать, что относительно структуры общего решения неоднородного линейного уравнения справедлива следующая
Теорема 4.
Общее
решение неоднородного уравнения
представимо суммой общего решения
соответствующего однородного уравнения
и
частного решения неоднородного уравнения
:
.
Доказательство. Поскольку
,
то
действительно является решением
неоднородного уравнения. Далее,
зависит от произвольных постоянных
и
,
поскольку от них зависит функция
.
Остается
убедиться, что за счет выбора значений
этих постоянных можно получить решение
задачи Коши с любыми наперед заданными
начальными условиями
.
Поскольку
— общее
решение соответствующего однородного
уравнения, то можно выбрать такие
значения постоянных
и
,
при которых
;
и
.
Тогда
для функции
при этих значениях
и
:
и
.
▄
9. Метод вариации произвольных постоянных
(МЕТОД ЛАГРАНЖА)
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
.
Согласно
изложенному в п. 8.4, его общее решение
представимо в виде
.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения записывается в
виде
.
(22)
с
произвольными постоянными
.
Функции
,
в зависимости от корней характеристического
уравнения, имеют вид:
(а)
— при
,
;
(б)
— при
,
;
(в)
— при
,
.
Таким
образом, остается найти какое-либо
частное решение исходного неоднородного
уравнения
.
Метод вариации произвольных постоянных,
предложенный Лагранжем, предполагает
отыскание
в виде, аналогичном (22), но уже с переменными
множителями при
и
:
.
Здесь
– подлежащие определению неизвестные
функции.
Вычислим
производные частного решения (аргумент
для краткости опускаем):
.
Наложим
на функции
условие:
;
(23)
тогда
.
Дифференцируем повторно:
.
Подставим
выражения для
в исходное уравнение и сгруппируем по
отдельности слагаемые с
и с
:
.
Множители
при
и
равны тождественно нулю, поскольку
функции
и
являются решениями однородного уравнения,
так что
.
(24)
Соотношения
(23) и (24) дают систему двух уравнений
относительно неизвестных
:
(25)
Решая
эту систему, получим выражения для
через уже известные функции
,
после чего сами функции
находятся интегрированием.
В качестве итога сформулируем алгоритм решения неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных:
1.
Решение соответствующего однородного
уравнения, получение функций
.
2.
Запись общего решения соответствующего
однородного уравнения в виде
.
3.
Вычисление производных
.
4.
Запись системы (25) для отыскания
.
5.
Решение системы, получение функций
.
6.
Нахождение каких-либо первообразных
ин-
тегрированием
функций
.
7. Запись частного решения неоднородного уравнения в виде
.
8. Запись общего решения неоднородного уравнения:
.
Пример.
Решим методом вариации произвольных
постоянных уравнение
.
Следуя алгоритму, последовательно
получаем:
1.
;
;
;
.
2.
.
3.
.
4.
5.
.
6. Интегрируя по частям, имеем:
.
.
7.
.
8.
.