2). (Задание для самостоятельного решения).

Семинар № 6.1 (16). Вычисление пределов функций.

1. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение.1). ==-11.

2). =∞, так как (х-4)→0 при х→4, (2х+5)→13, тогда дробь неограниченно возрастает.

3). ≤=0. 4). ≤=∞.

Ответ. 1). –11; 2). ∞; 3). 0; 4). ∞.

2. Вычислить пределы:

1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение. 1). ====0.

2). ===2. 3). ==∞.

4). (Задание для самостоятельного решения).

Ответ. 1). 0; 2).2; 3). ∞; 4). 0, если n<m; a_n/b_m , если n=m; ∞, если n>m.

3. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3).

Решение. 1). === -1/2.

2). ==== -= -2/3.

3). (Задание для самостоятельного решения).

Ответ. 1).-1/2; 2). –2/3; 3). 6.

4. Вычислить пределы. 1). ; 2). .

Решение. 1). ====0.

2). (Задание для самостоятельного решения).

Ответ. 1). 0; 2). –1/2.

Задания для самостоятельного решения: 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) .

Ответ. 5). –3/2; 6). ∞; 7). ½; 8). 1/3; 9). –2; 10). 2; 11). 1.

Семинар № 6.2 (17). Вычисление пределов функций (замечательные пределы).

1. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение. 1). ==5=5∙1=5.

2). ====2.

Задания 3) и 4) для самостоятельного решения. Ответ. 1). 5; 2). 2; 3). 0; 4). 8.

2. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение. 1). . Проводим замену х-1=у.

Тогда ======2/π.

Задания 2), 3) и 4) для самостоятельного решения. Ответ. 1). 2/π; 2). –2; 3). 1; 4). 2.

2. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3).

Решение. 1). ===е².

Задания 2) и 3) для самостоятельного решения. Ответ. 1). е²; 2). 1; 3). ∞.

2. Вычислить пределы: 1). ; 2). .

Решение. 1). ====1.

2). (Задание для самостоятельного решения). Ответ. 1). 1; 2). 3.

2. Вычислить пределы: 1). ; 2). .

Решение. 1). . Проведем замену у=1/х. Тогда ===1/.

2). (Задание для самостоятельного решения). Ответ. 1). 1/; 2). е.

2. Вычислить пределы: 1). ; 2).

Решение. 1). =====.

2). (Задание для самостоятельного решения). Ответ. 1). ; 2). е².

2. Применяя эквивалентные бесконечно малые величины, вычислить пределы:

1). ; 2). ; 3).

Решение. 1). ~3; sin~; 1+cos4~8x. Тогда ==3/8.

Задания 2) и 3) для самостоятельного решения. Ответ. 1). 3/8; 2). ; 3). 3.

Семинар № 6.3 (18). Непрерывность функций.

1. Исследовать на непрерывность функции: 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение. 1). Область определения функции хR кроме х=0, то есть (-∞; 0)(0, +∞). Так как функция является элементарной, то, значит, она непрерывна в области существования. Точка х=0 является точкой разрыва. Односторонние пределы =1 и =1, но у(0) не существует.

2). . Область определения этой функции х (-∞; 0)(0, +∞). Она элементарная, а значит непрерывная в области существования. Односторонние пределы неравны, потому что = -π/2, = π/2. Это означает, что при х=0 функция терпит разрыв первого рода.

Задания 3) и4) для самостоятельного решения.

Ответ. 1). х=0 точка разрыва, 2). х=0 точка разрыва, 3). х=0 точка разрыва, 4). х=1 точка разрыва.

2. Найти промежутки непрерывности и классифицировать точки разрыва для следующих функций:

1). ; 2). ; 3). .

Решение. 1). . Функция является элементарной и определена при х (-∞; 0)(0, +∞), следовательно, на этих интервалах она непрерывная.

Вычислим односторонние пределы, получим =1, =0.

Значит, х=0 точка разрыва первого рода.

Задания 2) и 3) для самостоятельного решения.

Ответ. 1). х=0 точка разрыва 1 рода, 2). х=2 точка разрыва (устранимого), 3). х=-1 х=1 точки разрыва 2 рода.

3. Исследовать на непрерывность функции

1). ; 2). 3).

Решение. 1). . Пусть х<2, тогда f(x)= -(1/2)x² является непрерывной на данном множестве. Если х>2, то f(x)=x и так же является непрерывной на указанном множестве. Осталось исследовать точку х=2. Вычислим односторонние пределы функции f(x). Получим =-2, =2. Значит, в точке х=2 функция f(x) терпит разрыв первого рода.

Задания 2) и 3) для самостоятельного решения.

Семинар № 6.4 (19). Вычисление по непрерывным процентам.

Теория. Известно, что формула сложных процентов имеет вид , где Q₀ – первоначальная сумма вклада, р – процент начисления за определенный период времени (месяц, год), n- количество периодов времени хранения вклада, Q_n – сумма вклада по истечении n периодов времени.

(Этой формулой можно пользоваться в демографических расчетах, например, прирост населения, и в прогнозах экономики, например, увеличение валового национального продукта).

Пусть р=100% годовых. Составим таблицу расчета Q_n.

n	За один промежуток		Примечание
1	1	=2 Q0	Процент начисляется один раз в год
2	1/2	=(3/2)2 Q0=2,25 Q0	Процент начисляется один раз в полугодие
4	1/4	=2,44 Q0	Процент начисляется ежеквартально
12	1/12	≈2,61 Q0	Процент начисляется ежемесячно
365	1/365	≈2,714 Q0	Процент начисляется ежедневно
8720	1/8720	≈2,718 Q0	Процент начисляется ежечасно
n	1/n	при n→∞	Непрерывное начисление процента

Сколько бы ни было велико число начислений n, годовая сумма накоплений не превзойдет еQ₀, а доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более, чем .

В общем случае, если р – процент начисления за год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины , где r=p/100 – годовая ставка процента. Это выражение можно преобразовать к виду и при n→∞. Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам.

Пример. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. На сколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение. Полгода составляют 182 дня. , преобразуем, получим ≈.

Ответ. Приблизительно в 6 раз.