Практические занятия

Семинар № 5.1 (14). Основные элементарные функции, их графики преобразования.

1. Определить и построить на числовой оси области изменения переменных х, t, α, заданные следующими неравенствами ; ; .

Решение. 1). ═> ═> -2≤х≤2. Ответ. .

2). ═> ═> ═> . Ответ. .

3). (Задание для самостоятельного решения).

2. Вычислить частное значение функции:

1). при х=0, х=а+1; 2). при х=-1/2.

Решение. 1). =2.

2). (Задание для самостоятельного решения).

Ответ. 1). 2; 2). .

3. Определить четность функций:

1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение. 1). Вычислим ==. Значит, функция нечетная.

Задания 2), 3), 4) для самостоятельного решения.

Ответ. 1). Нечетная. 2). Четная. 3). Не является ни четной, ни нечетной. 4). Нечетная при х≠0. При х=0 функция у(х) не существует.

4. Найти область определения функций: 1). ; 2). ;

3). ; 4). ; 5). .

Решение.1). ═> 1-х²≥0 ═>═>-1≤х≤1.

Задания 2), 3), 4), 5) для самостоятельного решения.

Ответ. 1). -1≤х≤1. 2). х≠2 и х≠3. 3). ; 4). х≠kπ, kZ, 5). .

5. Найти область изменения функций: 1). ; 2). .

Решение. 1). =>=>=> .

, значит, , или .

Ответ. .

2). Из функции выразим х через у, получим . Это выражение имеет смысл, если

1-4у²≥0 или .

Ответ. .

6. Найти наименьший период функций: 1). ; 2). .

Решение. 1). =>=>=>=> => x=x+π =>T=π.

2). (Задание для самостоятельного решения).

Ответ. 1). T=π. 2). Т=2π.

Семинар № 5.2 (15). Основные элементарные функции, их графики преобразования.

1. Построить график функций:

1). ; 2). ; 3). ; 4). .

2. Построить график функции, заданной параметричеки:

1). ; 2). .

Решение. 1). Составим таблицу значений переменных х и у в зависимости от параметра t и построим график в декартовой прямоугольной системе координат

t	0	π/4	π/2	3π/4	π
x	1	-1+	-1	-1-	-3
y	3	3+	5	3-	3

Это построение можно выполнить другим способом. Из задания функции исключим параметр t, получим . Это уравнение окружности с центром в точке (-1; 3) и радиусом r=2. Так как t[0;π), то sint≥0, значит у≥3, то есть имеем часть окружности, лежащую выше прямой у=3.

2). (Задание для самостоятельного решения).

3. В полярной системе координат построить кривую, давая значения через от 0 до . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат. Найти полярное уравнение кривой и построить ее:

1). а). ; б). . 2). а). ; б). .

Решение. 1). а). . Составим таблицу значений ρ (ρ ≥0) в зависимости от угла φ.

φ	0	π/4	π/2	3π/4	π	5π/4	3π/2	7π/4	2π
ρ	2		0	-	-	-	0		2

Построим график в полярной системе координат, совместив ее с декартовой прямоугольной системой координат

Чтобы найти уравнение линии в декартовой системе координат, надо применить формулы, связывающие декартовые и полярные координаты точки, то есть ; ; ; , . Получим =2, или . Это уравнение окружности с центром в точке (1; 0) и радиусом r =1.

б). Для нахождения полярного уравнения линии воспользуемся уже известными формулами из предыдущего примера. Получим или . Составим следующую таблицу значений:

φ	0	π/4	π/2	3π/4	π	5π/4	3π/2	7π/4	2π
ρ	0	1	0	-	0	1	0	-	0

Построим график в полярной системе координат. .