Алгоритм метода потенциалов.

1. проверяем тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим ее к закрытой;

2. находим опорный план X₀ перевозок путем составления 1-й таблицы одним из способов - северо-западного угла или наименьшего тарифа;

3. проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на невырожденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные клетки с помощью « 0 »;

4. составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам. Находим одно из ее решений при u₁=0;

5. Строим оценочную матрицу C₀=|| C_ij- u_i - v_j ||

6. Проверяем критерий оптимальности. Если в оценочной матрице нет отрицательных значений , то план оптимален (критерий оптимальности). Решение закончено: ответ дается в виде плана перевозок последней таблицы и значения f.

7. Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к выполнению последовательных итераций метода потенциалов, связанных с преобразованием двух матриц C₀ и X₀:

8. Для перехода к следующей таблице(плану):

а) В оценочной матрице выбираем отрицательный элемент. Если таких клеток несколько, то выбираем с наименьшим значением. Свободная клетка rk, соответствующая этому элементу, подлежит замещению. Элемент С_rk называется особо выделенным

б) В решении X₀ составляем цикл пересчета для этой клетки rk и расставляем знаки « + », « - » в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке « + »;

в) находим число перерасчета по циклу: число =min{X_ij}, где X_ij - числа в заполненных клетках X₀ со знаком « - »;

г) составляем новую таблицу, добавляя в плюсовые клетки и отнимая из минусовых клеток цикла. Получаем новое решение X₁

д) Подчеркиваем в оценочной матрице C₀ элементы, соответствующие занятым в решении X₁ клеткам. При этом всегда подчеркиваются нули и один ненулевой элемент С_rk, выделенный в пункте а)

е) Строим цепочку выделения. Она строится от особо выделенного элемента по строкам, затем по столбцам, каждый элемент, попавший в цепочку выделяет и строку и столбец, кроме выделенного элемента. Он выделяет только строку

ж) Прибавляя к выделенным строкам |С_rk |, а из выделенных столбцов вычитая |С_rk|, получим новую оценочную матрицуС₁, у которой на всех подчеркнутых местах окажутся нули. Эта матрица будет оценочной для X₁

9. Переходим к п. 6

Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходим к ответу, ибо транспортная задача всегда имеет решение.

Приложение в Методика решения задачи методом искусственного базиса

В каждое i-ое ограничение вводим искусственную переменную x_n+i >0. Всего m новых искусственных переменных.

В целевую функцию F вводим m дополнительных отрицательных слагаемых вида : -M*x_n+1 -M*x_n+2 ...-M*x_n+m , где М - произвольная очень большая константа.

Получим новую задача линейного программирования вида : F(x) = c₁х₁ + ... + с_nx_n -M*x_n+1 - ... -M*x_n+m -------≥ max a_i,1x₁+ ... + a_i,nx_n +x_n+i = b_i , (i=1,m) x_j >0 , (j=1,n+m) Новая система ограничений характерна тем, что искусственные переменные сразу можно взять в качестве базисных: x_n+i = b_i - a_i,1x₁ - ... - a_i,nx_n , (i=1,m)

4. Формируем начальное базисное решение новой М-задачи: x^' = ( 0, ... 0, b₁, ... b_m )

5. Решаем М-задачу симплекс-методом

6. Анализируем решение М-задачи в соответствии со следующими

правилами:

• Если в оптимальном решении М-задачи: x^" = ( x^"₁, ... x^"_n, x^"_n+1, ... x^"_n+m ) все искусственные переменные равны 0, то вектор x^" = ( x^"₁, ... x^"_n ) является оптимальным решением исходной задача линейного программирования.

• Если в оптимальном решении М-задачи хотя бы одна искусственная переменная не равна 0, то исходная задача линейного программирования не имеет решения в силу несовместимости ограничений.

• Если М-задача не имеет решения , то исходная задача линейного программирования также не имеет решения в силу неограниченности целевой функции на допустимом множестве.

Определение исходного опорного плана и исходной симплекс-таблицы, с которой начинаются все итерации.

Пусть поставлена задача линейного программирования

.

Можно считать, что все , так как умножением соответствующего

ограничения на -1 у всегда можно сменить знак.

Возьмем очень большое число M и будем решать следующую вспомогательную задачу:

В качестве исходного опорного плана надо взять план

Коэффициенты разложения векторов . Исходная симплекс-таблица приобретает тогда вид:

Сформировать дополнительную строку, где стоят числа и :

А теперь начнем преобразования симплекс-таблицы, стараясь выводить из базиса векторы, соответствующие введенным дополнительным переменным. Так как M очень большое, то среди разностей будет много положительных и будет много претендентов на введение в базис из

векторов .  Заметим, что если какой-то вектор, соответствующий какой-то дополнительной переменной выведен из базиса, то соответствующий столбец симплекс-таблицы можно просто вычеркнуть и больше к нему не возвращаться.

Возможны два варианта.

Все векторы, соответствующие введенным дополнительным переменным, будут выведены из базиса. В этом случае мы просто вернемся к исходной задаче, попав в какую-то вершину допустимой области. Все столбцы симплекс-таблицы, соответствующие дополнительным переменным, тогда исчезнут и дальше будет решаться исходная задача.

Несмотря на то, что M очень велико, получающийся оптимальный план будет все-таки содержать какую-то из дополнительных переменных. Это означает, что допустимая область исходной задачи пуста, то есть ограничения исходной задачи противоречивы и поэтому исходная задача вообще не имеет решений.

Заметим, что величина M вообще не конкретизируется и так и остается в виде буквы M. При решении учебных задач в дополнительную строку пишут алгебраические выражения, содержащие M, а при счете на ЭВМ вводится еще одна дополнительная строка, куда пишутся коэффициенты при M.

Пример

Решить задачу линейного программирования

Заметим, что у нас уже есть один подходящий вектор  это вектор при переменной . Поэтому вводим лишь две дополнительные переменные , заменяя исходную задачу следующей:

Исходная симплекс-таблица примет тогда вид:

ба- зис	с	план	-1	-2	-3	1	М	М
	M	15	1	2	3	0	1	0
	M	20	2	1	5	0	0	1
	1	10	1	2	1	1	0	0
		10+ 35M	2+ 3M	4+ 3M	4+ 8M	0	0	0