3. Проверяем выполнение критерия оптимальности при решении задачи на максимум. Наличие в последней стороне отрицательных коэффициентов говорит о том, что решение не оптимально.

4. Если оба критерия не выполняются переходим к следующей симплекс-таблице

А. Выбираем разрешающий столбец, соответствующий наименьшему отрицательному элементу в z- строке - столбец k.

Б. Составляем оценочное отношение каждой строки по следующим правилам:

, если b_i и a_ik имеют разные знаки;

, если b_i=0 и a_ik<0;

, если a_ik=0;

0 , если b_i=0 и a_ik>0;

(b_i=0/a_ik<0) , если b_i и a_ik имеют одинаковые знаки.

Если конечного минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума z_max=

В. Если минимальное конечное значение существует, то выбираем разрешающую строку, соответствующую наименьшему положительному значению оценочных отношений - строку r.

Г. Переходим к следующей таблице по правилам:

В левом столбце записываем новый базис. Вместо базисной переменной x_n+r записываем соответствующую свободную переменную x_n

Д. Новую строку с номером r получаем из старой делением всех элементов на разрешающий элемент a_rk;

Е. В разрешающем столбце соответств. основным временно проставляем 0 и 1. 1-против своей переменной , 0 - против чужой

Ж. Все остальные элементы a^'_ij, b^'_i вычисляем по правилам прямоугольника. a^'_ij=a_ij-(a_ik*a_rj)/a_rk

b^'_i=b_i-(a_ik*b_r)/a_rk

соответствующее число соответствующее число

Х

в разрешающей строке в разрешающем столбце

новые = старые -

элементы элементы разрешающее число

З. Далее переходим к пункту 3.

Через конечное число шагов, как правило, получаем оптимальный план ЗЛП или его отсутствие

Замечания.

1. Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-преобразованиях.

2. преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно ограничиться вычислением элементов последнего столбца.

при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений остаются неотрицательными; появление отрицательного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.

Приложение б Методика решения транспортной задачи методом потенциалов

Проверить тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели свести ее к закрытой, когда Σа_i =Σb_j

Случай открытой модели Σа_i Σb_j легко сводится к закрытой модели путем введения фиктивного потребителя B_n+1 c потребностью b_n+1=Σa_i-Σb_j, либо - фиктивного поставщика А_m+1 c запасом a_m+1=Σb_j-Σa_i ; при этом тарифы фиктивных участников принимаются равными 0.

Решение ТЗ разбивается на 2 этапа:

1. Определение начального допустимого базисного решения(1 опорного плана – первоначальное распределение поставок

2. Построение последовательных итераций (шагов), улучшающих опорные планы(каждый новый план не должен увеличивать суммарные затраты) до тех пор, пока не будет найдено оптимальное распределение поставок

Способы составления 1-таблицы (опорного плана).

План составляется последовательным заполнением по одной клетке в таблице перевозок так, что каждый раз либо полностью удовлетворяется потребность одного из потребителей, либо полностью вывозится груз от некоторого поставщика

ПН ПО	B1	В2	В3	В4	Запасы ai
A1	1 x11	2 x12	5 x13	3 x14	60
A2	1 x21	6 x22	5 x23	2 x24	120
A3	6 x31	3 x32	7 x33	4 x34	100
Заявки bj	20	110	40	110

1. Способ северо-западного угла (диагональный). Сущность способа заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северо-западная) оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо полностью вывозиться груз из А_i, либо полностью удовлетворяется потребность B_j. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы a_i и не удовлетворяются потребности b_j . В заключение проверяют, что найденные компоненты плана X_ij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям и что выполняется условие невырожденности плана.

ПН ПО	B1	В2	В3	В4	Запасы ai
A1	1 20	2 40	5	3	60
A2	1	6 70	5 40	2 10	120
A3	6	3	7	4 100	100
Заявки bj	20	110	40	110

Начинаем заполнение ТТ с левого верхнего («северо-западного») угла. Поставщик B₁ подал заявку на 20 ед.. Удовлетворим ее из запасов A₁(60-20). У него остается – 40. Отдадим их В₂. Но он заказал 110. Отдадим 110-40=70 из запасов A₂ и т.д. Сумма перевозок по строке должна быть = запасу соответствующего пункта отправления, а сумма перевозок по столбцу = заявке соответствующего ПН. Является ли данный план опорным, т.е. число свободных клеток д.б.=(m-1)(n-1) – 2x3=6.

2. Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется та, по вертикали или по горизонтали которой встречаются большие тарифы, а в принципе заполняется любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.

x_ij=min(a_i, b_j). Если a_i<b_j, то запасы поставщикаA_i исчерпаны, а потребность B_j стала b’_j= b_j- a_i, поэтому не принимая более во внимание i строку, снова ищем клетку с наименьшей стоимостью перевозок и заполняем ее с учетом изменившихся потребностей. Для случая a_i>b_jиз рассмотрения исключаем j столбец, а запасы A_i - a’_I= a_i- b_j. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока все запасы не будут исчерпаны, а все потребности - удовлетворены.

ПН ПО	B1	В2	В3	В4	Запасы ai
A1	1	2	5	3	60
A2	1	6	5	2	120
A3	6	3	7	4	100
Заявки bj	20	110	40	110

Метод потенциалов решения транспортной задачи.

Определение: потенциалами решения называются числа u_ja_i, v_jb_j, удовлетворяющие условию v_j+u_i=C_ij (*) для всех заполненных клеток (i,j).

Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее определенности одному неизвестному придают любое число (обычно u₁=0), тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.

Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X₀ транспортной задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия v_j + u_i C_ij, то X₀ является оптимальным планом транспортной задачи.

Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице) так, чтобы транспортные расходы не увеличились.

Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность клеток, удовлетворяющая условиям:

1. одна клетка пустая, все остальные занятые;

2. любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце;

3. никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце .

Пустой клетке присваивают знак « + », остальным - поочередно знаки « - » и « + ».

Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала находят незаполненную клетку (r, s), в которой v_j + u_iC_rs, и строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число =min{X_ij}. Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:

1. в плюсовые клетки добавляем ;

2. из минусовых клеток отнимаем ;

3. все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X₁) f(X₀); f(X₁)=f(X₀) - *max C_rs; оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда существует.

Теорема

Для каждой свободной клетки существует цикл, и притом единственный, одна вершина которого (первая) лежит в данной свободной клетке, а остальные в базисных клетках.

Правило 1.

Для свободной клетки следует построить цикл пересчета. В вершинах этого цикла расставить последовательно чередующиеся знаки, начиная со знака« + » в свободной клетке.

Правило 2

Коэффициентам затрат в таблице поставок в каждой строке и столбце нужно прибавить такие числа (потенциалы), чтобы коэффициенты затрат в заполненных клетках стали =0, полученные при этом коэффициенты затрат свободных клеток = оценкам этих клеток.