Лекция № 3. Основные понятия теории массовго обслуживания

1. Предмет теории массового обслуживания

Система массового обслуживания (СМО) – система, предназначенная для обслуживания потока заявок, поступающих в случайные моменты времени.

Примеры СМО: системы связи; САУ, АТС и т. д.

Любая реально функционирующая СМО соединяет в себе, по крайней мере, три составляющие:

1. входящий поток требований (заявок);

2. обслуживающую систему, состоящую из каналов обслуживания;

3. выходящий поток обслуженных заявок и поток заявок, получивших отказ.

Примерами потоков заявок являются, потоки вызовов (АТС), потоки транспорта, потоки неисправностей, потоки целей (система ПВО) и т. д. Под входящим потоком заявок понимается последовательность случайных моментов времени поступления заявок в систему. Входящий поток характеризуется интенсивностью (т.е. средним числом заявок поступающих в систему за единицу времени).

Система массового обслуживания состоит из каналов обслуживания. Канал обслуживания – устройство, непосредственно занимающееся обслуживанием заявок (1 телефон, 1 взлетно-посадочная полоса, 1 касса). Каждый канал может осуществлять лишь один вид обслуживания и единовременно обслуживать лишь одно требование. Если СМО включает в себя каналы, которые могут выполнять много видов обслуживания, то такая система называется многофазной. Количество каналов СМО обычно обозначают через .

Выходящий поток обслуженных заявок характеризуется либо интенсивностью (т.е. средним числом заявок обслуженных одним каналом за единицу времени) либо средним временем обслуживания заявки одним каналом.

Системы массового обслуживания подразделяются на СМО с отказами и СМО с ожиданием. В СМО с отказами заявка, полученная в тот момент, когда все каналы заняты, покидает систему (АТС). В СМО с ожиданием заявка ожидает освобождения канала (примеры: касса, аэродром, САУ).

Различают СМО с неограниченным ожиданием и с ограничениями:

а) по длине очереди (в очереди мест);

б) по времени ожидания;

в) по времени нахождения в системе.

Рис. 4

Предмет теории массового обслуживания – установление зависимости между потоком заявок, числом и производительностью каналов и характеристиками эффективности.

Основными критериями эффективности СМО являются:

1. вероятность отказа (заявка не будет обслужена) – Р_отказа;

2. Р_{обслуживания} = 1 – Р_{отказа.} или относительная пропускная способность ;

3. А – абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, обслуживаемое в единицу времени;

4. – среднее число занятых каналов;

5. вероятность загрузки канала ;

6. среднее число заявок в системе (обслуживаемых или ожидающих обслуживания в очереди) ;

7. среднее число заявок в очереди ;

8. среднее время пребывания заявки в системе (в очереди или под обслуживанием) ;

9. среднее время пребывания заявки в очереди .

2. Схема «гибели и размножения»

Проведем анализ систем массового обслуживания, состоящих из однородных каналов.

Многие задачи теории массового обслуживания сводятся к схеме «гибели и размножения». Схема гибели и размножения используется для вычисления предельных вероятностей состояний и, следовательно, критериев эффективности СМО.

Пусть состояния системы: (всего (n + 1) состояние), причем непосредственные переходы возможны только из соседних состояний и осуществляются под действием простейших потоков событий. Интенсивности прямых переходови обратных переходов указаны на блок-схеме графа состояний (рис. 5).

Рис. 5

Требуется найти предельные вероятности состояний .

Решение. Уравнения Колмогорова для предельных вероятностей имеют вид:

(1)

Упростив систему уравнений, получим:

(2)

Система (2) имеет следующий смысл:

для схемы «гибели и размножения» потоки вероятности между соседними состояниями равны.

Находим предельные вероятности, последовательно выражая их из уравнений:

. (3)

Пример. В канал связи поступает простейший поток заявок с интенсивностью (входной поток). Выходной поток – простейший с интенсивностью (т. е. среднее время обслуживания равно заявки в единицу времени). Если канал занят, заявка получает отказ. Граф состояний приведен на рис. 6. Имеется два состояния: – канал свободен, – занят.

Рис. 6

– вероятность в , – вероятность в .

Уравнения Колмогорова:

Начальные условия: – сначала канал свободен.

Решаем: (неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Окончательно получим:

Однородное:

.

Предельные вероятности.

;

Рис. 7

Тот же результат, полученный с помощью уравнений Колмогорова для предельных вероятностей:

.

Критерии эффективности определяются в стационарном режиме.

1. Вероятность отказа .

2. Вероятность обслуживания .

3. Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, обслуженных в единицу времени:

.