2. Пуассоновский1 и простейший потоки.

Определение 6. Пуассоновским² потоком событий называют поток событий, обладающий двумя свойствами: отсутствием последействия и ординарностью.

Пуассоновский поток событий тесно связан с известным распределением Пуассона — число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона

,

где – вероятность того, что за промежуток времени , примыкающий к моменту времени , наступит событий, – среднее число событий, наступающих на промежутке времени , примыкающим к моменту времени .

Для ординарного потока среднее число событий, наступающих в единицу времени равно интенсивности потока , следовательно, среднее число событий, наступающих на промежутке времени , примыкающим к моменту времени , будет равно

.

Если пуассоновский поток событий является стационарным, то

,

тогда

.

Определение 7. Простейшим потоком событий называется поток, обладающий тремя свойствами: отсутствием последействия, ординарностью и стационарностью.

Простейший поток также называют стационарным пуассоновским потоком.

Название «простейший» связано с тем, что математическое описание событий, связанных с простейшими потоками, оказывается наиболее простым.

Простейший поток играет среди других потоков особую роль — можно доказать, что при суперпозиции (взаимном наложении) достаточно большого числа потоков, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны и ординарны), образуется суммарный поток, который можно считать простейшим, и тем точнее, чем большее число потоков суммируется. Дополнительно требуется, чтобы складываемые потоки были сравнимы по интенсивности, т. е., чтобы среди них не было, скажем, одного, превосходящего по интенсивности сумму всех остальных.

Для простейшего потока с интенсивностью , вероятность того, что за время t произойдет ровно m событий, определяется распределением Пуассона:

(1)

В частности, (вероятность того, что за время нет событий):

. (2)

Пусть случайная величина Т – промежуток времени между соседними событиями в простейшем потоке, – функция распределения случайной величины Т. тогда , т. е.

,

, (3)

случайная величина Т имеет показательное распределение с математическим ожиданием .

Таким образом, простейший поток связан с двумя важнейшими распределениями: пуассоновским и показательным.

3. Потоки событий, не являющиеся простейшими.

Примером потока событий, который не является простейшим, служит нестационарный пуассоновский поток, рассмотренный выше.

Рассмотрим также некоторые другие потоки, не являющиеся простейшими.

Регулярным потоком называется поток, в котором события следует одно за другим через строго определенные промежутки времени.

Такой поток сравнительно редко встречается на практике. Регулярный поток со строго постоянными интервалами между событиями обладает ярко выраженным последействием, так как моменты появления событий связаны между собой жесткой функциональной зависимостью.

Поток событий называется потоком Пальма (или потоком с ограниченным последействием), если промежутки времени между последовательными событиями:

представляют собой независимые случайные величины.

Простейший поток есть частный случай потока Пальма: в нем расстояния представляют собой случайные величины, распределенные по одному и тому же показательному закону; их независимость следует из того, что простейший поток есть поток без последействия, и расстояние по времени между любыми двумя событиями не зависит от того, каковы расстояния между другими.

Многие потоки событий, встречающиеся на практике, хотя и не являются в точности потоками Пальма, но могут быть ими приближенно заменены.

Важными для практики являются потоки Эрланга. Эти потоки образуются в результате «просеивания» простейших потоков.

Рассмотрим простейший поток, интенсивность которого равна . Сохраним первую точку в этом потоке, а среди оставшихся точек будем сохранять каждую вторую, в результате такой операции «просеивания» образуется новый поток событий, он называется потоком Эрланга второго порядка (). Аналогично строят потоки Эрланга -го порядка ().

Потоком Эрланга³ -го порядка () называется поток, получающийся из простейшего, если в простейшем потоке сохранить первую точку и каждую

–ую точку из оставшихся точек, а остальные выбросить.

Очевидно, простейший поток представляет собой частный случай потока Эрланга, а именно поток Эрланга 1-го порядка.

Интервал времени между соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка представляет собой сумму независимых случайных величин – расстояний между событиями в исходном простейшем потоке:

Каждая из случайных величин распределена по показательному закону с параметром (интенсивность простейшего потока). Закон распределения интервала T между соседними событиями в потокеназывается законом Эрланга k-го порядка. Интенсивность потока равна . Нетрудно получить следующие выражения для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения для случайной величины в потоке Эрланга k-го порядка:

.