Степанова Л.В.

Теория массового обслуживания (конспект лекций) Содержание

ЛЕКЦИЯ № 1. ПОТОКИ СОБЫТИЙ 1

1. Поток событий. Основные свойства потока событий. 1

2. Пуассоновский и простейший потоки. 4

3. Потоки событий, не являющиеся простейшими. 6

ЛЕКЦИЯ № 2. ЦЕПИ МАРКОВА 7

1. Марковские случайные процессы 7

2. Дискретные цепи Маркова 9

3. Предельные вероятности состояний для однородной цепи Маркова 11

4. Марковские процессы с непрерывным временем 12

5. Уравнения Колмогорова 14

ЛЕКЦИЯ № 3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МАССОВГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 16

1. Предмет теории массового обслуживания 16

2. Схема «гибели и размножения» 17

ЛЕКЦИЯ № 4. СМО С ОТКАЗАМИ И ОЖИДАНИЕМ 20

1. Критерии эффективности СМО с отказами 20

2. СМО с ограниченной и неограниченной очередью 22

Рекомендуемая литература 25

Лекция № 1. Потоки событий

1. Поток событий. Основные свойства потока событий.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции, поток включений приборов в бытовой электросети, поток грузовых составов, поступающих на железнодорожную станцию, поток неисправностей (сбоев) вычислительной машины, поток выстрелов, направляемых на цель, и т. д.

Различают потоки однородных и неоднородных событий. Например, поток составов, поступающих на железнодорожную станцию, будет однородным, если не различать составы по типам и категориям. Если же различать типы и категории составов, то тот же поток будет уже неоднородным. Далее будем рассматривать только однородные потоки событий. События в однородном потоке различаются только моментами появления.

Определение 1. Поток событий – последовательность однородных событий, происходящих в случайные моменты времени.

Поток событий графически изображается как последовательность точек на оси , соответствующих моментам появления событий (рис.1).

Рис. 1

Потоки событий различаются своей внутренней структурой.

Рассмотрим поток событий, в котором события разделены интервалами времени (рис.2).

Рис. 2

Эти интервалы времени в общем случае являются случайными величинами. Пусть случайные величины (интервалы времени) независимые, в этом случае поток событий называют потоком с ограниченным последействием.

Определение 2. Поток называется потоком без последействия (потоком с отсутствием последействия), если для любых двух непересекающихся промежутков времени, взятых на оси времени, число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другой.

В таких потоках события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия, потому что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в данный момент, а не в другой, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Если такая зависимость появляется, условие отсутствия последействия оказывается нарушенным.

Рассмотрим, например, поток грузовых поездов, идущих по железнодорожной ветке. Если по условиям безопасности они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени , то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается. Однако, если интервал мал по сравнению со средним интервалом между поездами, то такое нарушение несущественно.

Определение 3. Поток событий называется стационарным, если появление того или иного числа событий на промежутке времени зависит лишь от длины этого промежутка времени и не зависит от того, где на оси времени взят этот промежуток.

Стационарность потока означает его однородность по времени. В частности, интенсивность (или «плотность») потока событий — среднее число событий в единицу времени — для стационарного потока должна оставаться постоянной. Поток может иметь сгущения и разрежения, но для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера, а среднее число событий, попадающих на единичный участок времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.

На практике часто встречаются потоки событий, которые (по крайней мере, на ограниченном участке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию на интервале от 12 до 13 часов, может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не будет стационарным (ночью интенсивность потока вызовов гораздо меньше, чем днем). Заметим, что так же обстоит дело и с большинством физических процессов, которые называют «стационарными» — в действительности они стационарны только на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности применяется в целях упрощения.

Определение 4. Поток называется ординарным, если вероятность того, что два события наступят за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события (события появляются поодиночке). Другими словами: появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Ординарность означает, что события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток клиентов, направляющихся в парикмахерскую, практически можно считать ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака, и т. д.

Рассмотрим ординарный поток событий и найдем среднее число событий, наступающих на промежутке времени , примыкающим к моменту времени . Найдем среднее число событий. Пусть – вероятность того, что на промежутке времени , примыкающим к моменту времени , произойдет событий, тогда для ординарного потока и малого имеем

.

Найдем среднее число событий в единицу времени и рассмотрим

.

Определение 5. называют интенсивностью (плотностью) ординарного потока.

Для стационарного потока интенсивность не зависит от времени и равна среднему числу событий, наступающих в единицу времени, а – средний интервал времени между соседними событиями.