- •Содержание
- •Введение
- •1 Основные компоненты Delphi
- •1.1 Знакомство с интегрированной средой программирования Delphi
- •1.1.1 Главное окно
- •1.1.2 Окно формы
- •1.1.4 Окно кода
- •1.1.5 Создание простого приложения
- •1.2 Программирование алгоритмов линейных структур путем создания простейших приложений в среде Delphi
- •1.2.1 Раздел описания процедур
- •1.2.2 Раздел меток
- •1.2.3 Раздел констант
- •1.2.4 Раздел типов
- •1.2.5 Раздел переменных
- •1.2.6 Раздел операторов
- •1.2.7 Реализация алгоритмов линейной структуры
- •1.2.8 Математические вычисления в языке Object Pascal
- •1.3 Условный оператор
- •1.4 Цикл с предусловием
- •1.5 Цикл с параметром
- •1.6 Цикл с постусловием
- •1.7 Обработка одномерных массивов
- •1.8 Обработка двумерных массивов
- •1.9 Табулирование функции двух переменных
- •1.10 Процедуры и функции
- •2 Общие сведения о программе MathCad
- •2.1 Знакомство с интегрированной средой MathCad
- •2.1.1 Окно программы MathCad
- •2.1.2 Алфавит системы MathCad
- •2.2 Построение графика функции
- •2.3 Решение рациональных уравнений
- •2.4 Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •2.5 Решение нелинейных уравнений
- •2.6 Решение систем нелинейных уравнений
- •2.7 Решение дифференциальных уравнений
- •Список использованных источников
2.5 Решение нелинейных уравнений
Цель: Познакомиться с приемами решения нелинейных уравнений средствами интегрированной среды MathCAD.
Задание: Решить уравнение .
Технология выполнения задания
Многие уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами с заданной погрешностью (не более значения, заданного системной переменной TOL).
Для простейших уравнений вида f(x)=0 решение находится с помощью функции root(выражение, имя_переменной, а, b), где а,b – пределы интервала изоляции корня, которые позволяют избежать вывода корней, не представляющих интереса при решении задач, например физических.
Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение равно нулю и реализует вычисления итерационным методом. Результаты ее использования отображены на рисунке 34.
Р исунок 34 - Пример решения уравнения с помощью функции root
Графическое решение уравнения выполняется в два этапа.
-
Необходимо преобразовать уравнение к виду f(x)=0 и построить график функции f(x);
-
Определить значение точки пересечения графика функции с осью абсцисс, используя трассировку.
Второй этап реализуется в свою очередь в несколько шагов, а именно:
-
выделим область графика функции и активизируем динамическую кнопку Масштаб , расположенную на панели инструментов Графики;
-
увеличим участок пересечения графика функции с осью ОХ, в соответствии с рисунком 35. Для этого необходимо протащить мышью по полю графика, заключив в рамку исследуемую область. При этом в окне просмотра отображаются минимальные и максимальные значения Х и У, определяющие область просмотра. Кнопки Zoom, Uzoom и FullView позволяют соответственно увеличить выделенную часть графика, снять выделение и вернуться к просмотру всего графика.
Р исунок 35 - Пример увеличения участка графика
После нажатия на кнопку Zoom, график функции принимает вид, отображенный на рисунке 36. Для получения более точного результата полученный участок пересечения графика функции с осью ОХ, важно увеличить аналогичным образом еще несколько раз. Для данного примера остановимся на участке, отображенном на рисунке 37.
-
трассировка увеличенного участка осуществляется с помощью динамической кнопки Слежение , расположенной на панели инструментов Графики. Трассировка начинает работать после выделения графика.
В окне графика появляется большое перекрестие из двух черных пунктирных линий. С помощью указателя мыши его можно перемещать по графику с дискретностью, определяемой заданным шагом изменения абсциссы х. При этом координаты текущей точки ближайшей кривой графика, на которую установлено перекрестие, отображаются в окне трассировки, изображенном на рисунке 38.
Это позволяет в приближении выявить координаты особых точек графика, в данном случае решение уравнения f(x)=0.
Кнопки Copy X и Copy Y позволяют занести соответствующие координаты в буфер обмена. Кнопка Close завершает трассировку и закрывает окно трассировки. Если установлен флажок Trace Data Point, то при трассировке указатель автоматически устанавливается на точку ближайшей кривой, отслеживая ее ход. При снятом флажке указатель может быть установлен в любую точку области графика, при этом координаты этой точки отображаются в окне трассировки.
Рисунок 36 - Участок графика после первого увеличения
|
Рисунок 37 - Участок графика после многократного увеличения
|
В нашем случае при трассировке получаем результат, отображенный на рисунке 38.
Рисунок 38 - Трассировка увеличенного участка графика
Таким образом, при решении трансцендентного уравнения первым способом, то есть с помощью встроенной функции Root, получено решение х=1,592, а графическим способом получен результат х=1,5924.
Для поиска всех корней обычного полинома p(x) степени n MathCAD поддерживает функцию polyroots(V), которая возвращает вектор всех корней полинома степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющем длину n+1.
Замечание: Не рекомендуется использовать эту функцию, если степень полинома выше пятой-шестой, так как трудно получить малую погрешность вычисления корней.
Таблица 17 - Индивидуальные варианты лабораторной работы №15
№ В |
Варианты индивидуальных заданий |
|||
Решить уравнение f(x)=0 одним из предложенных преподавателем способом
|
||||
1 |
|
16 |
|
|
2 |
|
17 |
|
|
3 |
|
18 |
|
|
4 |
|
19 |
|
|
5 |
|
20 |
|
|
6 |
|
21 |
|
|
7 |
|
22 |
|
Продолжение таблицы 17
8 |
|
23 |
|
9 |
|
24 |
|
10 |
|
25 |
|
11 |
|
26 |
|
12 |
|
27 |
|
13 |
|
28 |
|
14 |
|
29 |
|
15 |
|
30 |
|