4.3.2. Задача оптимального выбора выполняемых работ

Пусть портфель заказов некоторой фирмы включает в себя n работ (проектов, заданий и т.п.). Каждая j-я работа требует для своего выполнения расхода ресурсов i-го вида в объеме . Известно, что каждая работа может принести фирме доход в размере единиц. Известно, что для выполнения работ в требуемый период (месяц, год) фирма располагает ресурсами в объемах . Если выполняются все условия вида:

, (4.51)

то фирма в планируемом периоде может выполнить все n работ и получить при этом прибыль . Если хотя бы одно из неравенств (4.51) не выполняется, то возникает задача оптимального выбора из портфеля заказов при ограничениях на имеющиеся ресурсы.

Выбор выполняемых работ будет произведен с помощью вектора , компоненты которого удовлетворяют условию (4.43). Условие достаточности для отобранных работ с учетом условия (4.43) записывается так:

. (4.52)

Суммарная прибыль от реализации всех отобранных работ определяется выражением вида:

. (4.53)

Совместно с требованиями максимума прибыли при отборе работ можно использовать целевую функцию, которая описывает суммарные затраты времени на выполнение всех отобранных работ:

. (4.54)

Таким образом, выражения (4.53), (4.54), (4.52), (4.43) описывают двухкритериальную, линейную, дискретную ММ оптимального выбора работ из портфеля заказов.

Пример. Пусть фирма к началу месяца получила заказы на разработку пяти комплексов программ (КП). В этом месяце (26 рабочих дней) фирма имеет фонд з/п 100 000 рублей и 8 свободных разработчиков, которые могут быть привлечены к выполнению поступивших заказов. Технико-экономические показатели каждого КП представлены в таблице:

№ КП Показатели	1	2	3	4	5
Прибыль (млн.р.)	2	8	5	3	6
з/п (тыс. рублей)	40	70	30	20	20
Требуемая численность (человек)	4	6	2	1	3
Время разработки (р.д.)	10	12	8	4	6

Здесь 1-й и 4-й показатели (прибыль и время разработки) являются критериями оптимизации, з/п и численность образуют ограничения.

Модель вида (4.53), (4.54), (4.52), (4.43) примет вид:

; (4.53')

; (4.54')

(4.52')

. (4.43')

Пользуясь эвристическим алгоритмом, рассмотренном в задаче о ранце, решим однокритериальную задачу (4.53'), (4.52'), (4.43'):

Возьмем на разработку самый прибыльный комплекс программ – второй: х₂ = 1. Ограничения (4.52') выполняются. Добавим 5-й КП – первое ограничение по з/п выполнилось, второе – не выполнилось (численность 6 + 3 = 9 превысила допустимое значение), следовательно, 5-й КП добавлять нельзя. Возьмем вместо него 3-й: х₃ = 1 – оба ограничения выполнились, причем, что называется, под завязку: з/п 70 + 30 = 100; численность 6 + 2 = 8. Получили решение, при котором прибыль якобы максимальна:

С = 8 + 5 = 13 (млн. руб).

Однако существует решение данной задачи: х₃ = 1, х₄ = 1, х₅ = 1, при котором и прибыль больше: С_max = 14 млн. руб, и з/п меньше – 70 тыс. руб., что меньше 100 000 руб, и для выполнения работы может быть занято 6 человек, а не 8. Этот результат подтверждает квазиоптимальность эвристического подхода к решению задач ПР.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 7

1. Сформулируйте задачу оптимального выбора.

2. Приведите математическую модель задачи оптимального выбора в общем виде.

3. Сформулируйте задачу о ранце.

4. Приведите математическую модель задачи о ранце.

5. Приведите алгоритм эвристического метода при решении задачи о ранце.

6. Запишите критерий минимума суммарной массы предметов в ранце.

7. Сформулируйте задачу оптимального выбора выполняемых работ.

8. При каком условии фирма может выполнить все запланированные работы и получить при этом прибыль?

9. Приведите критерий суммарной прибыли от реализации всех отобранных работ.

10. Приведите критерий суммарных затрат времени на выполнение всех отобранных работ.

11. Приведите двухкритериальную ММ оптимального выбора работ из портфеля заказов.