Нарахування процентів в умовах інфляції

Якщо в звичайних умовах початкова сума PV при заданій ставці процентів перетворюється в суму FV, то в умовах інфляції вона повинна перетворитися в суму FV_a. Таке нарощення потребує іншої процентної ставки, тобто ставкою процентів, яка враховує інфляцію.

Уведемо визначення:

i_a ─ ставка позичкового процента, яка враховує інфляцію;

d_a ─ дисконтна ставка, яка враховує інфляцію;

j_a ─ номінальна ставка позичкового складного процента, яка враховує інфляцію,

f_а ─ номінальна ставка дисконтного складного процента, яка враховує інфляцію.

Прості проценти

Задамо річний темп інфляції а і просту річну ставку позичкового процента і. Тоді для нарощеної суми FV, що перетворюється в умовах інфляції в суму FVt, можна використовувати формулу (3.1):

FV_a=PV( 1 + i_a ).

Для даної суми можна записати ще одне співвідношення:

FV_a = PV( l + i )( l + a ),

а потім скласти рівняння еквівалентності, дорівнявши множники нарощення, на підставі того, що ia ─ процентова ставка, що враховує інфляцію:

( 1 + i_a ) = ( l + i )( l + a ),

з якого випливає, що

(5.6)

і_α = і + α + і_α

Це відома формула І.Фішера. У ній сума α + іα є величиною, яку потрібно додати до реальної ставки прибутковості для компенсації інфляційних утрат, і називається інфляційною премією.

Розглянемо тепер різні схеми нарахування процентів з і урахуванням інфляції. При цьому завжди зручно користуватися значенням індексу інфляції за весь розглянутий період.

Для простих процентних ставок одержуємо:

FV_a = PV ( 1 + n i_a )

У той же час повинна виконуватися рівність

FV. = PV ( 1 + n i_а ) І_I .

у результаті якої одержуємо:

(5.7)

Для простих дисконтних ставок аналогічне рівняння еквівалентності буде мати вигляд:

Звідки

(5.8)

Складні проценти

Процентні ставки для складних процентів на відміну від простих будемо позначати ознакою «с». Для складних позичкових процентних ставок :

Sa=(1+ica)n i Sa=(1+ic)Ii ,

(1+i_a)ⁿ = (1+i_c) I_i ,

(5.9)

Якщо нарахування процентів відбувається кілька (m) разів нарік, то

Звідси

(5.10)

де Ja - номінальна ставка складних процентів з урахуванням інфляції.

У такий же спосіб одержуємо дві формули для випадку і складних дисконтних ставок:

(5.11)

(5.12)

Де f_a - номінальна ставка облікових процентів в умовах інфляції.

Використовуючи отримані формули, можна знаходити процентну ставку, що компенсує втрати від інфляції, коли задані процентна ставка, що забезпечує бажану прибутковість фінансової операції, і рівень інфляції протягом розглянутого періоду. Наприклад з формули (5.7) можна одержати формулу, що дозволяє визначити реальну прибутковість фінансової операції, коли задано рівень інфляції і проста ставка процентів, що враховує інфляцію:

(5.13)

Приклад 1. Кредит у розмірі 5млн.грн. виданий на 2 роки. Реальна прибутковість операції повинна скласти 20% річних по складній ставці позичкових процентів. Очікуваний рівень інфляції складає.150% урік. Визначити множник нарощення, складну ставку процентів, що враховує інфляцію, і нарощену суму з урахуванням інфляції.

Дано:

PV = 5 млн.

i = 20%

n = 2 роки

α = 150%

I_i = (1+a)ⁿ

I_i = (1+1.5)²=6.25

k = (1+i)ⁿ I_i

k = (1+0.2) ² 6.25 = 900

i_a = (1+0.2) √ 6.25 – 1=2=200%,

FV = 5 (1+2)² = 45 млн. грн.

k-? I_a-?.

FV-?

Приклад 2. Сума в 20 млн. грн. видана на 3 роки, проценти нараховуються наприкінці кожного кварталу по номінальній процентній ставці 80 %. Визначити номінальну процентну ставку і нарощену суму з урахуванням інфляції , якщо очікуваний річний рівень інфляції дорівнює 90%.

Дано:

PV = 20 млн. I_i = (1+a)ⁿ,

n = 3 роки I_□=(1+0,9)³=6.859

j = 80% J_a=m [(1+j/m)]

J_c-? J_c=[(1+0.8/4) ] 4 =1.64 = 164%,

FV-? FV = 2 млн. (1+1.64/4)¹²=1 млн. 234 тис. грн.