2.4 Точка і пряма

Якщо точка належить прямій, то її проекції належать однойменним проекціям цієї прямої. Точка може перебувати у різних положеннях щодо прямої. Так на рис. 2.12 представлено пряму l(l₁, l₂) і декілька точок, про які можна сказати: точка А(А₁,А₂) знаходиться перед прямою l, точка В(В₁, В₂)  за прямою l, точка С під прямою l, точка D  над прямою l, точка Е знаходиться у третій чверті, а задана частина прямої l  у першій чверті. І тільки точка F(F₁, F₂) належить прямій l, бо F₁ l₁, a F₂ l₂. Але , якщо задана , наприклад, профільна пряма DE на горизонтальній і фронтальній проекціях, то не будь-яка точка F, проекції F₁ і F₂ якої належать однойменним проекціям прямої DE, належить цій прямій (рис. 2.13). У цьому можна переконатися, якщо побудувати профільну проекцію прямої DE і точки F. Профільна проекція F₃ не належить проекції D₃E₃. Це означає, що точка F не належить прямій DE. Цей факт можна встановити іншим шляхом. Із властивостей паралельного проекціювання відомо, що відношення відрізків прямої дорівнює відношенню їхніх проекцій. Із рис. 2.13 видно, що D₂F₂ /F₂E₂ D₁F₁ / F₁E₁, отже точка F не належить прямій DE.

На підставі названої властивості можна побудувати точку К, яка б належала профільній прямій GH (рис. 2.14). Для цього на горизонтальній проекції G₁H₁ прямої GH задаємо горизонтальну проекцію Рис. 2.12

К₁ точки К. Від точки Н₁

проводимо допоміжну пряму під будь-яким кутом і на ній відкладаємо відрізок Н₁G₀, довжина якого дорівнює довжині проекції G₂H₂ відрізка GH. Точку G₀ cполучаємо з точкою G₁. Через точку К₁ проводимо відрізок К₁К₀  G₁G₀ . На проекції G₂H₂ відкладаємо відрізок H₂K₂ = H₁K₀. Проекції К₁ і К₂ – це проекції точки К, що належить прямій GH.

Аналогічно можна поділити будь-який відрізок у заданому відношенні. Наприклад, необхідно на відрізку MN Рис. 2.13 Рис. 2.14 Рис. 2.15

(рис. 2.15) побудувати точку L,

яка поділила б його у відношенні 1: 3. Для цього від точки N₂ проводимо під довільним кутом пряму лінію і на ній відкладаємо 4 однакові відрізки довільної довжини. Поділку 4 сполучаємо з точкою M₂ і через поділку 1 проводимо відрізок 1L₂ | 4M₂.

Точка L₂ поділяє проекцію M₂N₂ у відношенні 1 : 3. За лінією зв’язку знаходимо проекцію L₁ точки L. Точки L₁ і L₂ – це проекції точки L, яка поділила відрізок MN у відношенні NL/LM = 1:3.

2.5 Сліди прямої

На будьякій прямій є особливі точки  це точки перетину прямої з площинами проекцій, які називаються слідами прямої. Точка перетину прямої з горизонтальною площиною проекцій називається горизонтальним слідом, точка перетину прямої з фронтальною площиною проекцій називається фронтальним слідом, а з профільною  профільним. Пряма загального положення перетинається з трьома площинами проекцій, тобто має три сліди, лінія рівня перетинається з двома площинами проекцій, отже має два сліди, а проекціювальна пряма має тільки один слід. У залежності від розташування прямої щодо площин проекцій вона може проходити через ті чи інші квадранти та октанти. На рис. 2.16, а показано побудову слідів прямої l(l₁, l₂) на площинах проекцій П₁ та П₂:

H  горизонтальний слід,

H₁  горизонтальна проекція горизонтального сліду,

H₂  фронтальна проекція горизонтального сліду,

F  фронтальний слід,

F₁  горизонтальна проекція фронтального сліду,

F₂  фронтальна проекція фронтального сліду.

Для побудови горизонтального сліду на кресленні прямої (рис. 2.16, б)

Рис. 2.16

продовжуємо її фронтальну проекцію l₂ до перетину з віссю проекцій x₁₂  маємо точку H₂, за лінією зв’язку знаходимо точку H₁ на горизонтальній проекції прямої l₁.

Далі будуємо фронтальний слід. Для цього продовжуємо горизонтальну проекцію l₁ до перетину з віссю x₁₂  маємо точку F₁, за лінією зв’язку знаходимо точку F₂ на фронтальній проекції l₂ прямої. Сліди поділили пряму на три частини. З розташування проекцій цих частин щодо осі проекцій видно, що пряма l проходить у першій, другій та четвертій чвертях.

На рис. 2.16, в побудовано сліди прямої m(m₁, m₂). При такому розташуванні прямої вона проходить у першій, третій та четвертій чвертях.

Будь-яка пряма рівня має тільки два сліди і не має сліду, однойменного з площиною проекцій щодо якої вона паралельна. Наприклад, горизонтальна пряма має тільки фронтальний і профільний сліди і не має горизонтального. Проекціювальна пряма має лише один слід, однойменний з площиною проекцій, до якої пряма перпендикулярна, і збігається з виродженою проекцією прямої на цю площину проекцій.