Соотношение между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Примеры.

1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x²+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .

2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Примеры.

1. .

2. .

3. , так как функции и - бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.

Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Пример. .

3. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Пример: .

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

Примеры.

1.) .

2.) .

3.)Рассмотрим . При x→1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x→1, то .

5. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то .

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.

Замечательные пределы

Первым замечательным пределом называется

Вторым замечательным пределом: или

Число . Точнее …, т.е является числом иррациональным. Играет весьма важную роль в математическом анализе. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными.

Сравнение бесконечно малых величин.

Как известно сумма, разность и произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б\м ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, б\м ф. или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б\м ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть и есть б\м ф. при .

Рассмотрим их отношение. 1

Выделим 4 случая:

1) если . В этом случае говорят, что - бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Пример: , т.е. бесконечно малая более высокого порядка чем .

2) если (где - число). В этом случае функции называются б\м одного и того же порядка.

Пример: , т.е и являются б\м одного порядка малости.

3) если в этом случае говорят, что - бесконечно малая более низкого порядка, чем .

Пример: ; при б\м более низкого порядка чем

4) если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми функциями.

Пример: Можно ли сравнить функции и при ?

Нет, т.к. предел не существует.

А теперь про самое главное:

Определение: Если функции и б\м одного и того же порядка, причем , то они называются эквивалентными б\м.

Символически это записывают так: .

или таким образом и , и являются эквивалентными б\м.

Теорема: Если существует предел отношения двух бесконечно малых функций и, то он равен пределу отношения соответствующих им эквивалентных бесконечно малых.

Теорема: Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Т.е или

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. и есть бесконечно малая высшего порядка, чем и, то и эквивалентные б.м.ф.

Теорема: Сумма конечного числа б.м.ф. разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Пример:

Примеры на практике!

Таблицы эквивалентных бесконечно малых в любом справочнике.

13