Лекция №3 «Прямая на плоскости и кривые 2 порядка» Система координат на плоскости
Под
системой координат на плоскости понимают
способ, позволяющий численно описать
положение точки плоскости. Одной из
таких систем является прямоугольная
(декартова) система координат, которая
задается двумя взаимно перпендикулярными
прямыми – осями, на каждой из которых
выбрано положительное направление и
задан единичный (масштабный) отрезок.
Эти оси называют осями координат, точку
их пересечения O – началом
координат. Одна из осей – ось абсцисс
(Ох); другая – ось ординат (Оy).
Оси координат делят плоскость на четыре
области – четверти (или квадранты).
Единичные векторы осей обозначают
и
;
=
=1.Систему
координат обозначают Oxy, а
плоскость, в которой расположена система
координат, называют координатной
плоскостью. Рассмотрим произвольную
точку M плоскости Oxy.
Вектор
называют радиусом- вектором точки M.
Координатами
точки M в системе координат Oxy
называются координаты радиуса-вектора
.
Если
, то координаты точки M записывают
так:
,
где число
-
абсцисса точки, а
-
ордината. Эти два числа полностью
определяют положение точки на плоскости,
а именно: каждой паре чисел
соответствует единственная точка M
плоскости, и наоборот.
Линии на плоскости
Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, равноудаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки O (центра окружности). Введение на плоскости системы координат позволяет определить положение точки плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т.е. равенства, связывающего координаты точек линии).
В
аналитической геометрии линия
на плоскости определяется как
множество точек, координаты которых
удовлетворяют уравнению
.
Переменные
в уравнении линии называются текущими
координатами точек линии. Уравнение
линии позволяет изучение геометрических
свойств линии заменить исследованием
его уравнения. Так, для того, чтобы
установить лежит ли точка 
на данной линии, достаточно проверить,
удовлетворяют ли координаты
уравнению этой линии в выбранной системе
координат.
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:
1.
-
уравнение прямой, проходящей через
точку
перпендикулярно нормальному вектору
.
2.
-
общее уравнение прямой
3.
-
уравнение прямой, проходящей через
точку
параллельно направляющему вектору
(каноническое уравнение прямой)
4. Параметрические уравнения прямой
5. Уравнения прямой в отрезках:
где
и
- величины направленных отрезков,
отсекаемых на координатных осях
и
соответственно.
6.
Уравнение прямой, проходящей через две
данные точки
и
:
7. Уравнение прямой, проходящей через точку :
где
-
угловой коэффициент прямой, равный
тангенсу угла наклона прямой к
положительному направлению оси
.
8.
-
уравнение прямой с угловым коэффициентом
;
где - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси .
9.
Тангенс угла между двумя прямыми
и
;
(
)
10. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых и :
и
11. Расстояние от точки до- прямой :
