Парабола
В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы.
Определение: Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.
Пусть
расстояние между фокусом
и
директрисой
параболы
равно
.
Тогда каноническое уравнение параболы имеет вид:
,
Число
называется параметром параболы. Начало
координат
-
ее вершина, а ось
- ось симметрии. Фокусом параболы служит
точка
,
а директриса имеет уравнение
.
Уравнение
называется
каноническим уравнением параболы.
Парабола, симметричная относительно
оси
,
имеет уравнение
.
Уравнения могут иметь вид
,
.
Как расположены они в этом случае?
Пример: Постройте параболу
.
Найдите ее фокус и директрису.
Решение: Уравнение
является каноническим уравнением
параболы,
,
.
Осью параболы служит ось
,
вершина находится в начале координат,
ветви параболы направлены вдоль оси
.
Для построения найдем несколько точек
параболы. Для этого придаем значения
переменному
и
находим значения
.
Возьмем точки
,
,
.
Учитывая симметрию относительно оси
,
рисуем кривую (рис.)
Рис. Парабола, заданная уравнением
Фокус
лежит
на оси
на
расстоянии
от вершины, то есть имеет координаты
.
Директриса
имеет
уравнение
,
то есть
.