3 Криві лінії та поверхні

13.1 Основні поняття та визначення кривих ліній

Крива лінія – множина точок простору. Усі криві лінії – суцільні. У нарисній геометрії криву лінію можна розглядати як: траекторію руху точки на площині або в просторі; лінію перетину двох поверхонь або поверхні з площиною. Крива лінія називається плоскою, якщо всі її точки лежать в одній площині; в протилежному випадку – просторовою. Криві лінії в нарисній геометрії задаються своїми проекціями. У загальному випадку за двома проекціями кривої можна встановити плоска вона чи просторова. На рис.3.1 показана просторова крива l, так як має конкуруючі точки К та М. Плоскі т

Рисунок 3.1

а просторові криві лінії можуть бути закономірними, які описуються певним алгебраїчним рівнянням, та випадковими, які для опису рівнянь н е мають. На кожній кривій лінії можна відзначити особливі точки, в яких крива змінює свою форму, а саме а) точку перелому А (рис.3.2,а); б) точку повороту або загострення В і С (рис.3.2.,б); в) подвійна або вузлова точка D (рис.3.2,в); г) точка самодотику Е (рис.3.2,г); д) точка перегину F (рис.3.2, д), в якій крива змінює напрям кривизни і перетинає дотичну.

а б в г д е

Рисунок 3.2

3.2 Плоскі криві лінії

Для дослідження локальної плоскої кривої лінії у довільно вибраній її точці розглядають дотичну та нормаль. Дотичною лінією t в точці М кривої l називають граничне положення січної КМ, коли точка К вздовж лінії l наближається до точки М (рис 3.3).

Н

Рисунок 3.3

ормаллю n в точці М до кривої l називається пряма, перпендикулярна до дотичної t в цій точці. До локальних властивос-тей кривої відноситься також поняття кривини.

Центр кривини О для точки М знаходиться на нормалі n до кривої в напрямі її вгнутості. Радіус кола кривини R в точці М називається радіусом кривини. Величина К = 1/R, обернена до радіуса кривини, називається кривиною кривої в досліджуваній точці. Однією з основних характеристик алгебраїчних плоских кривих ліній є порядок кривої. Він визначається графічно кількістю точок перетину даної кривої прямою лінією. Представлена на рис.3.4 крива – другого порядку, так як пряма l перетинає її у двох різних точках В та С, а в точці А дотична t дотикається до кривої. До плоских кривих замкнутих ліній відносяться лекальна крива еліпс та циркульна крива – овал, до розімкнутих плоских кривих ліній – евольвента, парабола, гіпербола, спіраль Архімеда, синусоїда та інші.

До закономірних плоских кривих ліній відносяться конічні перерізи (еліпс, гіпербола, парабола), а також евольвента та спіраль Архімеда. Евольвентою називається плоска крива лінія, яку описує точка на прямій лінії, яка без ковзання котиться по нерухомому колу. Нехай задано коло радіуса R (рис.3.5).

Рисунок 3.4 Рисунок 3.5

Поділимо його на рівну кількість частин ( нехай на 8); із точок поділу 1, 2, 3 проведемо послідовно ряд дотичних ліній, на яких відкладемо відповідно одну, дві, три і т.д. частин кола і отримаємо, відповідно, точки К₁, К₂, ….К₈. При послідовному з’єднанні точок К₁, К₂, К₃ і т. д. отримаємо евольвенту. Саме форму евольвенти мають бічні поверхні евольвентних зубчастих передач в деталях машин.

Д

Рисунок 3.6

ругою важли-вою плоскою кривою лінією є спіраль Архімеда, форма якої широко застосовується в техніці при профілю-ванні пазів самоцентру-вальних кулачкових патронів, кулачкових механізмів тощо.

Спіраль Архі-меда – це плоска крива, утворена траекторією точки, яка рівномірно рухається по радіусу-вектору і одночасово рівномірно обертається навколо нерухомого центра. Для заданого кроку спіраль Архімеда будують так (рис.3.6). Радіусом, рівним кроку спіралі, проводять коло і ділять його на рівну кількість частин (наприклад, на 8). Перетин концентричних кіл, проведених радіусами 0-1, 0-2, 0-3 і т. д. з променями 0-І, 0-ІІ, 0-ІІІ ... визначає точки спіралі Архімеда К₁, К₂, К₃ і т.д.