2.2 Розгортки поверхонь багатогранників

Розгорткою многогранної поверхні називають суміщену з площиною аркуша плоску фігуру, складену у певному порядку з граней багатогранника. При побудові розгорток багатогранників на площині показують тільки дійсні величини всіх його граней. Розгортка призми повернута зовнішньою поверхнею до спостерігача. На рис. 2.7 показано побудову трьох проекцій та дійсної величини фігури перерізу прямої трикутної призми фронтально-проектуючою площиною Г, а на рис. 2.8 – побудову розгортки нижньої (зрізаної) частини цієї призми з нанесенням лінії зрізу та фігури перерізу.

На рис. 2.7 профільна проекція призми побудована з використанням постійної прямої К₀. Нижня зрізана частина призми на π₂ та π₃ наведена суцільною лінією, а верхня – тонкою, так як вважається умовно відкинутою. Дійсна (натуральна) величина фігури перерізу 1_С2_С3_С побудована суміщенням площини Г з горизонтальною площиною проекцій π₁, де Г_{2 } х₁₂.

На рис 2.8 побудована повна розгортка призми з нанесенням лінії зрізу та фігури перерізу на ній. Тут бічна поверхня являє собою прямокутник, висота якого дорівнює висоті призми, а довжина дорівнює периметру трикутника основи (АВ+ВС+АС) з приєднаними до нього двома основами. Лінія згину на розгортці показана штрих-путктирною з двома крапками лінією згідно з ГОСТ 2.303-68. Нижня (зрізана) частина розгорнутої призми виділена товстими лініями, а верхня – тонкими.

На рис. 2.9 представлено дві проекції перерізу правиль-ної трикутної піраміди SABC фронтально-проектуючою площиною Г. Слід Г₂ площини перетинає тільки бічні ребра (грані) піраміди, тому у перерізі буде трикутник 123, дійсна величина якого побудована заміною горизонтальної площини проекцій (вісь х₂₅ поставлена паралельно до сліду Г₂).

На рис 2.10 побудована розгортка піраміди аналогічно з описаною в попередньому пункті (при перетині призми). Бічна поверхня правильної трикутної піраміди являє собою три рівнобедрені трикутники, приєднані один до одного зі спільною вершиною S. Так як у даній (правильній) піраміді всі бічні ребра однакові, то радіус дуги SA дорівнює фронтальній проекції ребра SC (S₂C₂)_. При приєднанні до розгортки бічної поверхні трикутника основи АВС отримаємо повну розгортку поверхні. Дійсні величини S1 та S2 рівні між собою та дорівнюють S₂1₂ та S₂2₂. Розгортка показана зовнішньою поверхнею до спостерігача.

Рисунок 2.7 Рисунок 2.8

Рисунок 2.9 Рисунок 2.10

Принагідно зазначимо, що лінії згину на розгортці (рис.2.10) показано штрих-пунктирними з двома крапками тонкими лініями.

На рис. 2.11 побудовано дві проекції та дійсну величину фігури перерізу трикутної піраміди SABC фронтально-проектуючою площиною Ф, фронтальний слід Ф₂ якої проходить через два бічні ребра, а горизонтальний через два ребра основи. Тут фронтальні проекції точок 1₂ , 2₂ та 3₂ , 4₂ збігаються з фронтальним слідом Ф₂, а горизонтальні їх проекції 1₁, 2₁, 3₁ та 4₁ лежать, відповідно, на ребрах основи А₁В₁ та А₁С₁ та бічних ребрах S₁C₁, S₁В₁.

Дійсна величина фігури перерізу 1₁2₁3₁4₁ побудована способом плоско-паралельного переміщення фігури перерізу в горизонтальне положення. Проекція 1₁2₁3₁4₁ – дійсна величина фігури перерізу.

Рисунок 2.11

Для побудови розгортки попередньо праворуч на рис.2.11 знайдені дійсні величини ребер SB та SC загального положення шляхом плоско-паралельного їх переміщення у фронтальне положення S₁B₁ та S₁C₁ (паралельно до осі ОХ). Із зрозумілої побудови на фронтальній проекції отримані

дійсні величини цих ребер (S₂C₂ та S₂B₂). На проекціях цих ребер побудовані також точки 3₂ та 4₂, необхідні для побудови їх на розгортці піраміди. При заданому положенні піраміди ребра SA, AB, ВC та AC на рис. 12.11 є в дійсну величину АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁, АС= А₁С₁ , АS=A₂S₂ (ребро АS фронтальне).

Розгортка на рис 2.12 побудована послідовним приєднанням дійсних величин бічних граней SAB, SВC, SAC зі спільною вершиною S та основи АВС.

Аналогічно до попередньої здійснена побудова лінії зрізу та фігури перерізу на розгортці.

Р

Рисунок 2.12

озгортка повернута до спостерігача зовнішньою поверхнею; бічна поверхня та основа показані розрізаними по ребрах AS, AB та AC, а основа АВС приєднана до сторони ВС. Верхня (відкинута частина) розгортки показана тонкою лінією, нижня – суцільною основною, а лінії згину на ній показані штрих-пунктирними тонкими з двома крапками лініями згідно з ГОСТ 2.303-68. Чотирикутник 1234 фігури перерізу на розгортці (рис 2.11) побудований розбивкою чотирикутника 1₁2₁3₁4₁, зображеного на комплексному кресленні на два трикутники 1₁3₁4₁ та 1₁2₁3₁. Свідченням правильності побудови є рівність фігури перерізу на комплексному кресленні чотирикутника 1234 на рис.2.11 та чотирикутника 1234 на розгортці (на рис. 2.12).

Запитання для самоперевірки

1 Як побудувати точки перетину багатогранників прямими лініями?

2 Що називається розгорткою поверхні багатогранника?

3 Як побудувати розгортку поверхні призми?

4 Як побудувати розгортку поверхні піраміди?