1.2.3 Точки та прямі на поверхні багатогранників

Для побудови точки чи прямої на поверхні багатогранника виконують таку саму побудову, як будують точку і пряму у площині, заданій довільною плоскою фігурою. На рис.1.7 представлено дві проекції піраміди SABC і фронтальні проекції видимих точок F (F₂) і – К ( К₂).

Для побудови F₁ та K₁ через проекцію вершини S₂ та F₂, а також через S₂ та К₂ проведено, відповідно, проекції прямих S₂D₂ та S₂E₂. Далі побудовані горизонтальні проекції цих прямих S₁D₁ та S₁E₁, на яких лежать, відповідно, проекції точок F₁ та К₁, виходячи з умови належності прямої до площини, розглянутої у попередніх розділах.

Так само як на пірамідальній поверхні, будуються точки на призматичних поверхнях. Це твердження відповідає розглянутим раніше питанням про розміщення точки на прямій та площині.

Нехай, наприклад, на бічній грані А₁В₁ В₁А₁ похилої тригранної призми задана проекція К₁ точки К (рис.1.8).

Рисунок 1.7 Рисунок 1.8

Для побудови К₂ у заданій грані через К₁ будуємо проекцію довільної прямої А₁D₁, а потім А₂ D₂. Так як D₁ лежить на В₁В₁, то спочатку будуємо проекцію D₂ на В₂В₂, а потім проекцію К₁ піднімаємо по лінії зв’язку на А₂D₂. Нехай на грані А₁А₁С₁С₁ знаходиться проекція L₁ точки L. Аналогічно до попереднього проведемо через L₁ проекцію прямої С₁Е₁ і побудуємо її фронтальну проекцію С₂Е₂, на якій буде проекція точки L₂. Ця точка показана в дужках (як невидима), так як грань А₂А₂С₂С₂ невидима на фронтальній проекції. Нехай на горизонтальній проекції верхньої основи А₁В₁С₁ задана проекція М₁ точки М. Так як ця основа (як і нижня) для заданого положення призми є горизонтальною площиною, то для побудови фронтальної проекції М₂ достатньо з М₁ провести лінію зв’язку на лінію А₂В₂С₂_.

1.2.4 Перерізи багатогранників площинами особливого положення та побудова їх дійсної величини

Лінія перерізу багатогранника площиною може бути побудована або за точками перетину ребер багатогранника з площиною (метод ребер) або за лініями перетину граней багатогранника заданою площиною (метод граней). Послідовність побудови цих точок (рис.1.9) символічно можна записати так

Метод ребер

1  SAQ

2  SВQ

3 SСQ

Метод граней

12  АSВQ

23  ВSСQ

13  АSСQ

У першому випадку розв’язується задача побудови точки перетину прямої з площиною, у другому – зводиться до побудови лінії перетину двох площин. Фігуру, отриману в результаті перетину багатогранника площиною, називають багатокутником (фігурою) перерізу. Число сторін фігури перерізу дорівнює числу граней, які перетинає січна площина. Фігура перетину проектується на площину проекцій без спотворення у натуральну величину, якщо січна площина проходить паралельно до площини проекцій, причому фігурою перерізу буде багатокутник, подібний до основи. На рис 1.9 показано наочне зображення фігури перетину трикутної піраміди SABC горизонтальною площиною Q, а на рис 1.10 – комплексне креслення такого перерізу. Тут трикутна піраміда SABC перерізана горизонтальною площиною зі слідом Γ₂, яка на горизонтальній проекції відтинає подібний до основи А₁В₁С₁ трикутник 1₁2₁3₁ , який на π₁ проектується у дійсну ( натуральну) величину.

Рисунок 1.9 Рисунок 1.10

У інших (складніших) випадках, коли піраміду чи призму перетинають проектуючі площини або площини загального положення, дійсну величину фігури перерізу визначають додатковою побудовою. На рис 1.11 показано перетин трикутної прямої призми фронтально-проектуючою площиною Δ, фронтальний слід Δ₂ якої перетинає всі три її вертикальні ребра. В результаті цього від бічної поверхні призми відтинається трикутник 1₂2₂3₂, площина якого збігається зі слідом Δ₂, а горизонтальна проекція 1₁2₁3₁ цього трикутника (фігура перерізу) збігається з проекціями бічних граней та ребер(1_1А₁, 2_1В₁, 3_1С₁). Дійсна величина фігури перерізу (трикутника 123) побудована суміщенням площини Δ з горизонтальною площиною проекцій π₁(Див. Додаток А). Так як у просторі кут між слідами Δ₁ та Δ₂ дорівнює 90° (для проектуючих площин), то при суміщенні слід Δ₂ збігається з віссю Х₁₂.

Для побудови дійсної величини фігури перерізу суміщаємо також точки 1₂, 2₂ та 3₂ з площиною π₁. За необхідності третю проекцію призми чи піраміди з точками фігури перерізу легко побудувати. Δ 1₁2₁3₁=Δ123.

На рис. 1.12 представлений випадок, коли фронтально-проектуюча січна площина Σ перетинає два бічні ребра і частину основи.

Рисунок 1.11 Рисунок 1.12

В результаті перетину отримаємо чотирикутник 1234, на епюрі дві точки якого 1₁ та 2₁ лежать відповідно на сторонах А₁В₁ та А₁С₁ основи А₁В₁С₁, а точки 3₁ та 4₁ на бічних ребрах S₁C₁ та S₁В₁ відповідно. Дійсна величина фігури перерізу 1₅2₅3₅4₅ побудована заміною площин проекцій, де вісь х₂₅ проведена паралельно до сліду Σ₂, а точки 1₅, 2₅, 3₅ та 4₅ побудовані відкладанням координат у до кожної з точок, взятих з горизонтальної проекції.

Дійсна величина фігури перерізу може бути побудована також іншими способами, наприклад, плоско-паралельним переміщенням.