2. Зонная плавка.

1. Однопроходная зонная плавка

При зонной плавке, как уже говорилось выше, с помощью специального нагревателя расплавляется не весь кристалл, а лишь его часть. Расплавленная зона движется от затравки вдоль слитка. При этом на фронте кристаллизации происходит перераспределение примеси между жидкой и кристаллизующейся фазой в соответствии с коэффициентом распределения. При этом если расплавленная зона собирает в себя примесь и при движении зоны оттесняет примесь к концу слитка, а если , примесь переносится в начало слитка, и тем самым происходит очистка материала.

Для количественного рассмотрения распределения примеси при зонной плавке сохраняются все допущения Пфанна, перечисленные выше и к ним добавляется требование постоянства ширины расплавленной зоны (рис. 44).

Рис. 44. Схема перекристаллизации при зонной плавке: 1 и 3 – закристаллизовавшаяся и плавящаяся части слитка, соответственно; 2 – расплавленная зона; – расстояние от начала слитка до фронта кристаллизации; – длина расплавленной зоны; – длина слитка; – скорость перемещения зоны.

Рассмотрим случай одного прохода расплавленной зоны через слиток с равномерным распределением примеси. Допустим, что:

• 

• – концентрация примеси в расплавленной зоне;

• – концентрация примеси в исходной твердой фазе;

• – концентрация примеси в закристаллизованной твердой фазе вблизи фронта кристаллизации.

• S – поперечное сечение слитка, постоянное по всей длине (разницей в плотностях жидкой и твердой фазах пренебрегаем).

Если за время зона переместится на расстояние , то концентрация примеси в жидкой зоне изменится (индексы у текущих концентраций опущены) на:

(47)

или ; интегрируя по твердой фазе и считая, что , получим:

(48)

Тогда:

; или:

и окончательно:

. (49)

Выражение (49) справедливо в диапазоне , поскольку последняя зона кристаллизуется по уравнению (45) для направленной кристаллизации с учетом того, что за исходную концентрацию принимается . Тогда на участке (участок 3 рис.45.) распределение примеси находится по уравнению:

(50)

Как видно из рис. 45, распределение примеси после одного прохода зоны, полученное по уравнениям (48 и 45), можно условно разделить на три участка: 1 – очищенная часть слитка; 2 – часть с прежней концентрацией примеси и 3 – загрязненная часть слитка.

Рис. 45. Распределение примеси после одного прохода узкой зоны при .

На рис. 46. проиллюстрировано распределение примеси в расплавленной зоне в зависимости от ее положения в слитке. При этом в соответствии с допущениями Пфанна, , а .

Рис. 46. Распределение примеси в слитке при начальном положении расплавленной зоны и при расположении зоны на участке 2 (рис. 45.).

По мере движения зоны по участку 1 концентрация примеси в жидкой фазе повышается и, в конце концов, достигает значения, при котором дальнейшая очистка не происходит (участок 2). Видно, что при выходе кривой на насыщение избыток примеси, поступающий в расплавленную зону от фронта кристаллизации, компенсируется растворением более чистого материала на фронте плавления. Иными словами, устанавливается равенство на границах зоны: или .

Для графической иллюстрации распределения примеси по длине кристалла обычно результаты расчета по выражению (48) строят в приведенных координатах и (рис. 47.).

Рис. 47. Распределение примеси по части длины кристалла, равной девяти , при различных значениях , полученное в результате одного прохода зонной плавки.

Если сравнить рисунки 47 и 43, то видно, что направленная кристаллизация эффективнее очищает кристалл, чем один проход зонной плавки. Однако возможность многократного прохода зоны приводит к тому, что на практике применяют зонную плавку.

2. Многопроходная зонная плавка.

По-прежнему для определенности рассматриваем случай при .

Рассмотрим полубесконечный кристалл. Верхним индексом (n) обозначим номер прохода. Поскольку для (n)-ого прохода зоны начальным распределением примеси в слитке будет являться результат предыдущего (n-1)-ого прохода, то дифференциал (46) принимает вид (в круглых скобках текущая координата):

. (51)

. (52)

На влияет не только , но и . Причем разница между ними с каждым проходом зоны растет, а уход примеси в кристалл оказывает меньшее влияние на концентрацию примеси в жидкой фазе.

Милликеном предложено измерять расстояния в единицах приведенной длины , заменить интегрирование суммированием и в области для совокупности n-распределений воспользоваться выражением:

, (53)

где .

Если надо найти одно n-ое распределение, то выражение (53) упрощается:

. (54)

И, наконец, если значение достаточно мало (), то можно воспользоваться выражением:

. (55)

В точке а = 0 концентрацию примеси для каждого прохода зоны можно определить из выражения:

.(56)

На последнем участке уравнение будет иметь вид:

. (57)

Интегрирование уравнений (51) и (52) представляет собой определенную сложность, связанную с тем, что при каждом новом проходе зоны распределение примеси описывается однотипным уравнением лишь на участке , поскольку только этот участок не оказывает влияния на распределение примеси в последней зоне.

2. Конечное распределение примеси

Найдем конечное распределение примеси для полубесконечного образца. В этом случае наступает динамическое равновесие в расплавленной зоне: поток примеси, оттесняемый в расплав от фронта кристаллизации через диффузионный слой, равен потоку примеси, поступающем в диффузионный слой из расплава. Последний поток формируется за счет растворения обогащенного примесью кристалла на фронте плавления. Иными словами, в расплавленной зоне в предельном случае наступает динамическое равновесие между потоком примеси оттесняемого в объем расплава от фронта кристаллизации и потоком примеси от фронта плавления через объем расплава к фронту кристаллизации, т.е. наступает конечное распределение примеси или . В результате этого реализуется ситуация, показанная на рис. 48.

Рис. 48. Распределение примеси в расплавленной зоне при достижении конечного распределения (здесь для наглядности масштаб на оси С линейный).

Принимая за конечное распределение, концентрация примеси в расплавленной зоне, математически описывается:

или .(58)

Решением этого уравнения является выражение вида:

, (59)

где , а В является решением трансцендентного уравнения:

.

Следует отметить, в рамках изложенной модели расчеты многопроходной зонной плавки можно корректно проводить лишь в ограниченной области , т.е. для узких расплавленных зон. С другой стороны, для соблюдения приближений Пфанна ширина расплавленной зоны не может быть короче 2. На рис. 49. показано последовательное распределение примеси в кристалле при проходе через него 10 зон с и .

Избежать ограничений модели Пфанна позволяют более сложные подходы, показывающие, что конечное распределение отклоняется от приведенной экспоненциальной зависимости (рис. 49,а) в сторону бóльших концентраций примеси. Причем с увеличением n это отклонение все более заметно на средней части монокристалла (рис. 49,б).

Рис. 49. Распределение примеси в кристалле в зависимости от числа проходов зоны: а – рассчитанное по приближению Пфанна (пунктиром показано конечное распределение); б – расчет с учетом влияния последних зон [д.л. 15].