Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины
Рис. 4.1. Охлаждение неограниченной пластины
Задача
симметрична относительно оси,
.
По (1.39):
.
(4.1)
Введём избыточную температуру:
.
(4.2)
Из (4.1) и (4.2) можно получить:
.
(4.3)
Условия однозначности:
-
Геометрические: ширина и длина пластины намного больше толщины.
-
Физические: λ, с,
,
a
– const. -
Временные:
; 
; 
. -
Граничные: пусть тело остывает.
; 
;
; 
;
.
Цель
– получить зависимость вида:
.
Введём безразмерные координаты и числа подобия:
-
относительное превышение температуры:
.
(4.4)
-
относительные координаты:
.
(4.5)
-
число Био – число краевого подобия, характеризует связь между полем температур твёрдого тела и условиями теплоотдачи на его поверхности.
.
(4.6)
-
число Фурье – безразмерное время, характеризует связь между скоростью изменения температурного поля и физическими характеристиками и размерами тела.
.
(4.7)
Цель:
получить безразмерное превышение
температуры над температурой окружающей
среды, т.е. перейти от
к
.
Необходимо решить уравнение (4.3). Решение ищем в виде:
.
(4.8)
Продифференцируем (4.8) и подставим в (4.3):
.
(4.9)
.
(4.10)
Уравнение (4.10) интегрируют с учётом условий однозначности, после преобразований, перейдя к безразмерным переменным, имеем.
,
(4.11)
где 
– корень характеристического уравнения:
.
(4.12)
При
берут 1-ый член ряда (
),
получают
-
на оси:
;
(4.13)
-
на поверхности:
.
(4.14)
Функции N(Bi) и P(Bi) затабулированы и для зависимостей (4.13) и (4.14) имеются графики.
Количество теплоты, отданное пластиной в процессе охлаждения
Количество внутренней энергии тела относительно среды (в начальный момент времени):
.
(4.15)
Рассмотрим
процесс от
до
.
К
моменту времени
внутренней энергии осталось:
,
(4.16)
где 
– средняя температура тела.
Изменение внутренней энергии тела:
,
(4.17)
где 
– средняя безразмерная избыточная
температура к моменту времени
.
;
(4.18)
.
(4.19)
Подставим (4.11) в (4.19) и проинтегрируем:
. (4.20)
При
берут 1-ый член ряда (
),
получают
.
(4.21)
Значения функции М(Bi) затабулированы.
. (4.22)
Аналогично решены задачи для бесконечного цилиндра и шара, [1].
Влияние числа Bi на процессы нестационарной Теплопроводности
-
(
).
Рис. 4.2. Влияние числа Bi на процессы нестационарной
теплопроводности
Здесь
.
.
(4.23)
Если
.
Значение коэффициента теплоотдачи большое, охлаждение (нагревание) тела определяется физическими свойствами и размерами тела.
-
(
).
Рис. 4.3. Влияние числа Bi на процессы нестационарной
теплопроводности
Здесь
.
Если
.
Процесс охлаждения (нагрева) определяется интенсивностью теплоотдачи на поверхности пластины.
-
.
Рис. 4.4. Влияние числа Bi на процессы нестационарной
теплопроводности
Здесь
.
Если
.
Охлаждение (нагрев) определяется как внутренним, так и внешним термическим сопротивлением.