2.9. Дифференциальные уравнения тепломассообмена

; (21.1)

; (21.2)

Если процесс стационарный, то . Если нет конвективного переноса, то:

. (21.3)

Уравнение (21.3) – это уравнение массообмена, перенос массы – за счёт концентрационной диффузии – при теплопроводности аналогичное уравнение, если (1.39).

Уравнение энергии с учётом массообмена:

; (21.4)

; (21.5)

; (21.6)

; (21.7)

; (21.8)

; (21.9)

. (21.10)

Система уравнений конвективного массообмена для бинарной смеси

. (21.11)

Если , то уравнение закона сохранения энергии принимает вид:

. (21.12)

Для стационарного процесса:

; (21.13)

. (21.14)

В (21.13) и (21.14) входят для смеси. В эту систему необходимо добавить уравнение Навье-Стокса и неразрывности. По оси x оно имеет вид:

; (21.15)

. (21.16)

Чтобы сформулировать краевую задачу для теплообмена и массобмена к системе (21.13) – (21.16) необходимо добавить условия однозначности. Для массобмена граничные условия имеют свои особенности: для этого рассмотрим тепломассоотдачу в бинарной смеси (рассмотрим испарение жидкости в парогазовую смесь).

Рис. 21.1. Распределение концентраций пара и газа над поверхностью испарения:

p_пс, m_пс – парциальное давление и массовая доля пара у поверхности; p_по, m_по – парциальное давление и массовая доля пара вдали от поверхности; p_гс, m_гс – парциальное давление и массовая доля газа у поверхности; p_го, m_го – парциальное давление и массовая доля газа вдали от поверхности

Для данной задачи справедливы следующие равенства:

; (21.17)

; (21.18)

. (21.19)

По (21.19) газ должен диффундировать в направлении, обратном диффузии пара. Но пар может свободно диффундировать в парогазовую смесь. Для газа поверхность жидкости непроницаема. Казалось бы, массовая доля газа m_г должна у поверхности расти, но в стационарном процессе распределение концентраций не изменяется во времени. Поэтому перемещение газа к поверхности должно компенсироваться конвективным потоком.

Впервые это показано Стефаном.

, (21.20)

где w_c – скорость стефанова потока (для смеси).

. (21.21)

Из (21.21):

. (21.22)

С учётом (21.19):

. (21.23)

Преобразуем (21.20):

; (21.24)

; (21.25)

. (21.26)

Плотность потока пара у поверхности испарения:

; (21.27)

; (21.28)

Уравнение массоотдачи с учётом стефанова потока:

. (21.29)

Концентрации в (21.25) и в (21.26) учитывают конвективный (стефанов) поток, вызванный непроницаемостью поверхности испарения для газа. Стефанов конвективный поток появляется при отсутствии вынужденного движения и свободной тепловой конвекции. Уравнение (21.29) – для полупроницаемой поверхности. Поверхность испарения проницаема для одного (активного) компонента и непроницаема для инертного компонента (в примере пар – активный, газ – инертный).

Полупроницаемая поверхность существует при конденсации. В случае полностью проницаемой поверхности через неё проходят оба компонента. Такие процессы наблюдаются при конденсации бинарной паровой смеси (пар – пар) и при испарении некоторых растворов.

Плотность теплового потока:

. (21.30)

Поскольку на границе раздела фаз , то:

. (21.31)

При полупроницаемой поверхности в условиях стационарного процесса возникает лишь поперечный поток пара.

Лекция 22